边值问题

边值问题就是求解给定边界条件泊松方程解的问题。解得的结果是标量电位函数

1. 方程

泊松方程：
∇2φ=−ρε\nabla^2\varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon} ∇2φ=−ερ

反映了场中各点电位的空间变化与该点自由电荷体密度之间的普遍关系。

特殊的，拉普拉斯方程：
∇2φ=0\nabla^2\varphi = 0 ∇2φ=0

2. 边界条件

第一类边界条件
φ∣S=f1(s)φ|_S = f_1(s) φ∣S=f1(s)
第二类边界条件
∂φ∂n∣S=f2(s)\frac{\partial φ}{\partial n}|_S = f_2(s) ∂n∂φ∣S=f2(s)
第三类边界条件
(φ+∂φ∂n)∣S=f3(s)(φ+ \frac{\partial φ}{\partial n})|_S = f_3(s) (φ+∂n∂φ)∣S=f3(s)

解法

1. 分离变量法

基本思想： 把电位函数φ用两个或三个仅含一个坐标变量的函数的乘积表示，带入偏微分方程后，借助“分离”常数使原来的偏微分方程转换为几个常微分方程，如何分别求解这些常微分方程并以给定的边界条件确定其中待定常数和函数，最终得到电位函数解。

2. 有限差分法

基本思想： 把场域用网格进行分割，再把拉普拉斯方程用以各网络节点处的电位作为未知数的差分方程式来进行代换，将求拉普拉斯方程解的问题变为求联立差分方程组的解的问题。

3. 电轴法

实质： 同镜像法。
适用情况： 带等量异号电荷的两平行圆柱导体间的静电场问题。
a2+b2=h2a^2 + b^2 = h^2 a2+b2=h2

a：圆柱导体的半径

h：轴心到原点的距离

b：电轴到原点的距离

4. 镜像法

实质： 把实际上分片均匀媒质看成是均匀的，并在所研究的场域边界外的适当地点用虚设的较简单的电荷分布来代替实际边界上复杂的电荷分布。根据唯一性定理，只要虚设的电荷分布与边界内的实际电荷在一起所产生的电场能满足给定的边界条件，这个结果就是正确的。
电荷的只能放在非求解区域。

(1) 无限大导体平面

上半空间等效于： 撤去导体，空间充满介电常数ε0ε_0ε0的电介质，qqq不变，对称位置放一个−q-q−q，两者共同产生的电场。
下半空间： 没有电场分布。

(2) 导体球面

导体球外等效于： 撤去导体球，空间充满介电常数ε0ε_0ε0的电介质，q不变，在球心与q连线上距离球心bbb距离上增加一个大小为q′q'q′点电荷，两者共同产生的电场。
b=R2db= \frac{R^2}{d} b=dR2

q′=Rdqq' = \frac{R}{d}q q′=dRq

导体球内： 等式体，电场强度处处为0。

(3) 双层介质

左半空间等效于： 撤去导体，空间充满介电常数ε1ε_1ε1的电介质，q不变，在对称位置加一个 q′q'q′，电场由两者共同产生

q′=ε1−ε2ε1+ε2qq' = \frac{\varepsilon_1 - \varepsilon_2}{\varepsilon_1 + \varepsilon_2}q q′=ε1+ε2ε1−ε2q

右半空间等效为： 撤去导体，空间充满介电常数ε2ε_2ε2的电介质，q撤去，在对称位置加一个 q′′q''q′′，电场由其自己产生。

q′′=2ε2ε1+ε2qq'' = \frac{2\varepsilon_2}{\varepsilon_1 + \varepsilon_2}q q′′=ε1+ε22ε2q

对于线电荷仍然适用。

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