摘要：在光学教学过程中从基本的物理概念出发，建立相应的理论模型，并将光学问题归纳为特征方程求根、积分求解、常微分方程求解等几类数值求解问题，结合MATLAB强大的数值计算和图形显示功能，完成光学问题的仿真计算并给出图形化的显示结果。提高学生学习光学课程的兴趣，培养学生利用MATLAB解决光学仿真问题的能力。

关键词：光学仿真；MATLAB；数值计算

一、引言

21世纪是信息时代，信息学科和信息产业的迅猛发展促使传统的光学仪器科学向光电信息学科扩展。现代光电信息学科及其产业的发展要求新一代的科学研究人员与工程技术人员除了具有扎实的理论基础，还应具有应用所学理论建模并仿真求解光电信息学科及现代光学中各种问题的能力，成为知识结构新和创新能力强的高层次人才。光波导和激光是现代光电信息科学中两个举足轻重研究方向，如何让学生形象地理解光波导中的模式以及激光器中的速率方程等概念一直是教学过程中的难题。通过借助MATLAB强大的数值计算和图形显示功能，将其运用到光学仿真和教学中，可以获得很好的效果。在教学过程中以光波导和激光这两个方向的光学内容为基础，从基本的物理概念出发，建立相应的理论模型，并将其中的光学问题归纳为特征方程求根、积分求解、常微分方程求解等几类数值求解问题，在对相应的数值分析方法进行简要介绍的基础上结合MATLAB强大的数值计算和图形显示功能，完成光学问题的仿真计算并给出图形化的显示结果。也就是通过光学仿真计算，利用MATLAB编程来完成现代光学典型问题的模型求解，通过数据和图形来展示现代光学问题的本质，力求形成理工结合、经典理论与现代数值方法紧密结合的新体系。

二、MATLAB与光学课程教学的有机结合

在光学仿真与教学过程中，通过下列方式将MATLAB与光学课程教学有机地结合起来：一是以MATLAB为平台，开发制作了光波导和激光等高等光学现象仿真程序，并运用于计算机所支持的课堂教学中，以其作为演示实验配合光学理论的讲授，很好地解决了真实实验因环境限制而不能进入课堂的难题。二是利用MATLAB的仿真与计算功能，鼓励学生通过自主探索，去研究光学课程中的一些更深入的问题。在掌握理论知识的前提下，让学生建立相应的物理模型和数学模型，然后利用MATLAB编写程序，去完成对知识的巩固与拓宽。这是一种探索过程，也是为学生以后的研究工作奠定基础。三是利用MATLAB的计算、绘图与优化功能，启发学生对数学模型中的参数进行改变，根据实际物理条件选择符合要求的最优值，并获得最优条件下的参数值，最终通过理论仿真来指导实践。完成实践(参数获取)-理论(物理模型建立)-仿真(MATLAB数值计算及绘图)-优化(MATLAB参数改变及优化)-实践(最优参数选取)的过程，让学生真切感受科学技术是第一生产力。

三、光学仿真问题的分类及求解

基于以上指导思想，对光波导和激光教学过程中的光学仿真问题根据其物理模型和数值仿真求解进行了分类，主要有以下几个方面的内容：

1.对于最基本的光的电磁理论基础，从麦克斯韦方程组出发，根据麦克斯韦电磁理论，利用电矢量和磁矢量来分析光波在两介质表面的反射特性，并结合MATLAB仿真计算光波从光疏介质进入光密介质，以及光波从光密介质进入光疏介质时的反射率、透射率、相位等随入射角度的变化关系，得到布鲁斯特角、全反射、倏逝波等基本概念及特性。

2.采用的是本征模方法，利用有限空间的波动光学理论分析光在介质光波导(理想平板介质光波导)中传播特性。由于受到介质边界条件的限制，根据不同的边界条件，对麦克斯韦方程或相应的波动方程求解后，可以得到其特征方程。在推导出理想平板介质光波导最基本的TE模和TM模的特征方程后，利用MATLAB的方程求根函数fzero或fsolve即可对特征方程进行数值求解，从而得到其中TE模(或TM模)的传输特性。

3.对于光纤波导结构，则从光波在光纤(圆柱光波导)中传输的圆柱坐标系下亥姆霍兹方程出发，得到阶跃折射率光纤中光波传输的Bessel方程，结合光波在光纤中传输的边界条件，推导出弱导近似下的特征方程，并利用MATLAB中的Bessel函数以及数值求根函数fzero，对弱导近似下的特征方程进行数值求解，获得光纤的归一化工作频率、归一化横向相位参数、归一化横向衰减参数等数据；再通过MATLAB的三维作图功能，将不同参数光纤中的电场分布特性展示出来。

4.从激光的基本原理出发，介绍了辐射与物质的相互作用，关于自发辐射、受激辐射和受激吸收的爱因斯坦关系式，吸收与光学增益，激光器的基本构成，激光速率方程和激光调Q技术等内容。以一种典型的被动调Q的微晶片激光器为例，给出了其被动调Q的速率方程组，该速率方程组可以简化为一个具有3个自变量的常微分方程组。利用MATLAB的常微分方程初值问题求解函数ode45对该被动调Q速率方程组进行仿真求解，得到被动调Q的微晶片激光器的脉冲时域特性以及被动调Q过程中光子数密度和反转粒子数密度随时间的变化关系。

5.重点介绍了一种新型的激光器———高功率双包层光纤激光器。光纤激光器是以掺杂光纤作为增益介质的一类激光器，和其他类型的激光器一样，光纤激光器由能产生光子增益的工作介质、使光子得到反馈并在工作介质中进行谐振放大的光学谐振腔和激励光子跃迁的抽运源三部分组成。只不过光纤激光器的工作介质是同时起着波导作用的掺杂光纤。因此，光纤激光器是一种波导型的谐振装置。在教学中分别给出了端面抽运和侧面抽运两种情况下的双包层光纤激光器的理论模型，利用MATLAB的常微分方程边值问题求解函数bvp4c，并结合双包层光纤激光器的边值条件对其速率方程组进行仿真求解，得到抽运光、激光以及反转粒子数密度沿光纤长度的变化。在教学过程中大量运用到求解各类模型的数值计算方法，其中主要有方程求根的数值解法、数值积分方法、常微分方程的初值问题数值求解、常微分方程的边值问题数值求解。考虑到学生数学方面的知识背景不尽相同，为了能够让学生在尽量少的时间内能够理解数值求解的基本思路和方法，并运用MATLAB相应的模型进行数值求解，还在教学过程中介绍了数学和MATLAB相关方面的补充知识，从而减轻他们在学习过程中的负担。

在科学研究和工程应用中不仅要求能够根据实际情况选择适当的理论建立模型，更为重要的是要能够结合实际情况仿真求解理论模型，并在此基础上对模型的某些关键参数进行优化，最终用于指导科学研究和工程应用。将MATLAB用于光学仿真教学中，通过这些仿真过程和结果能够进一步加深对光波导和激光的理解和应用，使学生能认识和掌握该语言，提高对光学问题仿真求解的水平，为更深入的科学研究打下扎实的基本功。

参考文献：

[1]谢嘉宁，陈伟成，赵建林，陈国杰，张潞英.Matlab在光学信息处理仿真实验中的应用[J].物理实验，2004，24(6)：23-25

[2]欧攀，戴一堂，王爱民，柳强，李立京，伊小素.高等光学仿真(MATLAB版)———光波导，激光[M].北京：北京航空航天大学出版社，2011.

[3]任玉杰.数值分析及其MATLAB实现[M].北京：高等教育出版社，2007.

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