单圆盘转子的临界转速和不平衡响应
转子动力学，钟一鄂
我水平太差，不太好理解这本书，/(ㄒoㄒ)/~~
第一章 http://book.ucdrs.superlib.net/views/specific/2929/bookDetail.jsp?dxNumber=000001034999&d=CE35F309CB85878C55BA563D0038FEED&fenlei=1811050303
第一章 单圆盘转子的临界转速和不平衡响应
刚性支承：轴承与轴承座完全刚性
简单旋转机械可简化为：无质量的弹性转轴上装有圆盘，两端刚性支撑
1.1 转子的涡动
为了避开静变形，将单圆盘转子竖直放置，圆盘位于中间，作转速Ω\OmegaΩ的匀速运动。此时给转轴加一横向冲击，研究这种运动的性质。
定义坐标系：固定坐标系xysxysxys，轴向为sss，其余两个方向为xxx与yyy。圆盘圆心为o′o'o′，静止时圆心所在位置为ooo，o′o'o′的坐标为(x,y)(x,y)(x,y)。
圆盘此时只受转轴给的弹性恢复力F=−kr,r=oo′ˉF=-kr, r=\bar{oo'}F=−kr,r=oo′ˉ
圆盘运动的微分方程
{mx′′=−kxmy′′=−ky\left\{ \begin{aligned} mx'' = -kx \\ my'' = -ky \end{aligned} \right. {mx′′=−kxmy′′=−ky
令wn2=k/mw_n^2=k/mwn2=k/m
{x′′+wn2x=0y′′+wn2y=0\left\{ \begin{aligned} x'' + w_n^2x = 0 \\ y'' + w_n^2y = 0 \end{aligned} \right. {x′′+wn2x=0y′′+wn2y=0
其解可写作
{x=Xcos(wnt+ax)y=Ysin(wnt+ay)\left\{ \begin{aligned} x = Xcos(w_nt + a_x) \\ y = Ysin(w_nt + a_y) \end{aligned} \right. {x=Xcos(wnt+ax)y=Ysin(wnt+ay)
振幅与初相由一瞬间的冲击来决定。
一般情况下，振幅X≠YX\neq YX=Y，即o’的运动轨迹为椭圆，o′o'o′的运动称为涡动或进动。自然频率为o′o'o′的进动角速度。
复变量z=x+iyz=x+iyz=x+iy，用一个复变量代表两个实变量
上面的公式可简化为z′′+wn2z=0z'' + w_n^2 z = 0z′′+wn2z=0，解为z=B1eiwnt+B2e−iwntz=B_1 e^{iw_nt} + B_2 e^{-iw_nt}z=B1eiwnt+B2e−iwnt，B1,B2B_1,B_2B1,B2为复数由一瞬间的冲击来决定。
解的第一项为正进动，运动轨迹为圆，半径为∣B1∣|B_1|∣B1∣，运动方向同Ω\OmegaΩ；解的第一项为反进动，运动轨迹为圆，半径为∣B2∣|B_2|∣B2∣，运动方向与Ω\OmegaΩ相反。两种圆运动合成了椭圆运动。
o′o'o′的运动必然会有下面四种情况：
B1=B2B_1 = B_2B1=B2，轨迹为直线
B1≠B2B_1 \neq B_2B1=B2，轨迹为椭圆，正进动半径大于反进动半径时，作正进动，反之，作反进动。（正进动与反进动合成后的运动也可以称为进动）
B1=0,B2≠0B_1 = 0, B_2\neq 0B1=0,B2=0，轨迹为圆，反进动
B2=0,B1≠0B_2 = 0, B_1\neq 0B2=0,B1=0，轨迹为圆，正进动
o′o'o′的进动属于自然振动，频率就是转轴静止时弯曲振动的自然频率。
如果考虑空气阻力，z′′+2nz′+wn2z=0z''+2nz' + w_n^2 z = 0z′′+2nz′+wn2z=0，解为z=e−nt(B1eiwn′t+B2e−iwn′t),wn′=wn2−n2z=e^{-nt(B_1e^{iw'_nt}+B_2e^{-iw'_nt})}, w'_n = \sqrt{w_n^2 - n^2}z=e−nt(B1eiwn′t+B2e−iwn′t),wn′=wn2−n2
这种情况下，涡动是衰减的，o′o'o′最终趋于ooo
1.2 圆盘的偏心质量引起的振动，临界转速
圆盘重心ccc与o′o'o′不重合，o′co'co′c为偏心距
{xc′′=x′′−eΩ2cos(Ωt)yc′′=y′′−eΩ2sin(Ωt)\left\{ \begin{aligned} x''_c = x'' - e\Omega^2cos(\Omega t) \\ y''_c = y'' - e\Omega^2sin(\Omega t) \end{aligned} \right. {xc′′=x′′−eΩ2cos(Ωt)yc′′=y′′−eΩ2sin(Ωt)
由质心运动定理，有
{mxc′′=−kxmyc′′=−ky\left\{ \begin{aligned} mx''_c = -kx \\ my''_c = -ky \end{aligned} \right. {mxc′′=−kxmyc′′=−ky
可得o′o'o′运动微分方程（强迫振动）
{x′′+wn2x=eΩ2cos(Ωt)y′′+wn2y=eΩ2sin(Ωt)\left\{ \begin{aligned} x'' + w_n^2 x = e\Omega^2cos(\Omega t)\\ y'' + w_n^2 y = e\Omega^2sin(\Omega t) \end{aligned} \right. {x′′+wn2x=eΩ2cos(Ωt)y′′+wn2y=eΩ2sin(Ωt)
复变量形式z′′+wn2z=eΩ2eiΩtz'' + w_n^2 z = e \Omega^2 e^{i\Omega t}z′′+wn2z=eΩ2eiΩt，特解为z=AeiΩtz=Ae^{i\Omega t}z=AeiΩt
将特解带入方程可得振幅∣A∣=∣e(Ω/wn)21−(Ω/wn)2∣|A|=|\frac{e(\Omega / w_n)^2}{1-(\Omega / w_n)^2}|∣A∣=∣1−(Ω/wn)2e(Ω/wn)2∣，z=e(Ω/wn)21−(Ω/wn)2eiΩtz=\frac{e(\Omega / w_n)^2}{1-(\Omega / w_n)^2}e^{i\Omega t}z=1−(Ω/wn)2e(Ω/wn)2eiΩt
可知响应频率与激励频率相同，响应相位与激励相位相同（Ω<wn\Omega < w_nΩ<wn）或相差180°（Ω>wn\Omega > w_nΩ>wn）
转动过程中oo′coo'coo′c位于同一直线上，直线绕ooo以角速度Ω\OmegaΩ转动，o′o'o′与ccc作同步正进动
Ω<wn\Omega < w_nΩ<wn，A>0A>0A>0，o′o'o′与ccc在ooo的同一侧；Ω>wn\Omega > w_nΩ>wn，A<0A<0A<0，ccc在o′o'o′与ooo的之间，当Ω>>wn\Omega >> w_nΩ>>wn，A≈−eA\approx -eA≈−e，此时ccc几乎位于ooo，称为自动对心。
Ω=wn\Omega = w_nΩ=wn，A=∞A=\inftyA=∞，由于公式无阻尼，幅值无限大，wnw_nwn称为临界角速度，单位为rpm，则称为临界转速。
转子工作转速小于临界转速称为刚性轴，反之称为柔性轴。
如果考虑空气阻力，z′′+2nz′+wn2z=eΩ2eiΩtz''+2nz'+w_n^2z = e\Omega^2 e^{i\Omega t}z′′+2nz′+wn2z=eΩ2eiΩt，特解为z=∣A∣ei(Ωt−θ)z=|A|e^{i(\Omega t - \theta)}z=∣A∣ei(Ωt−θ)
将特解带入微分方程，可求出∣A∣|A|∣A∣与θ\thetaθ
∣A∣=e(Ω/wn)2[1−(Ω/wn)2]2+(2n/wn)2(Ω/wn)2|A| = \frac{e(\Omega/w_n)^2}{\sqrt{[1-(\Omega/w_n)^2]^2 + (2n/w_n)^2(\Omega/w_n)^2}}∣A∣=[1−(Ω/wn)2]2+(2n/wn)2(Ω/wn)2e(Ω/wn)2
tg(θ)=(2n/wn)(Ω/wn)1−(Ω/wn)2tg(\theta)=\frac{(2n/w_n)(\Omega/w_n)}{1-(\Omega/w_n)^2}tg(θ)=1−(Ω/wn)2(2n/wn)(Ω/wn)
频响曲线为幅值∣A∣|A|∣A∣与相位θ\thetaθ随频率比Ω/wn\Omega/w_nΩ/wn的变化
由于外阻尼，Ω/wn=1\Omega/w_n=1Ω/wn=1时的响应并不是最大值，最大值发生在Ω/wn≤1\Omega/w_n \leq 1Ω/wn≤1
在实际中通过测量升速与降速时转子的响应来确定临界转速，因此升速时根据最大响应确定的临界转速比真实的临界转速大，而降速时根据最大响应确定的临界转速比真实的临界转速小。
由于阻尼的存在，o′coo'coo′co三点并不在同一条直线上。但当Ω>>wn\Omega >> w_nΩ>>wn，θ≈π\theta \approx \piθ≈π，此时ccc仍然可认为几乎位于ooo，自动对心。
1.3 圆盘相对于转动坐标系的运动
转子相对转动坐标系的运动为相对运动，转子相对固定坐标系的运动为绝对运动
固定坐标系sxysxysxy，转动坐标系sξηs\xi \etasξη，以转子角速度Ω\OmegaΩ绕sss轴转动
o′o'o′的绝对坐标z=x+iyz=x+iyz=x+iy，相对坐标ζ=ξ+iη\zeta=\xi+i\etaζ=ξ+iη
z=rei(θ+Ωt)z=re^{i(\theta+\Omega t)}z=rei(θ+Ωt)
ζ=reiθ\zeta = re^{i\theta}ζ=reiθ
因此可以得出 z=ζeiΩtz=\zeta e^{i\Omega t}z=ζeiΩt，相对坐标与绝对坐标的关系
带入之前的冲击振动微分方程可得（绝对坐标用相对坐标表示），ζ′′+2iΩζ′+(wn2−Ω2)ζ=0\zeta'' + 2i\Omega \zeta' + (w_n^2 - \Omega^2)\zeta = 0ζ′′+2iΩζ′+(wn2−Ω2)ζ=0，解为ζ=B1ei(wn−Ω)t+B2e−i(wn+Ω)t\zeta = B_1e^{i(w_n-\Omega)t} + B_2e^{-i(w_n+\Omega)t}ζ=B1ei(wn−Ω)t+B2e−i(wn+Ω)t
转动坐标系下的解仍是正反进动的合成，但两种进动角速度不同，合成的轨迹也不是椭圆，而是花瓣形。
带入之前的不平衡强迫振动微分方程可得，ζ′′+2iΩζ′+(wn2−Ω2)ζ=eΩ2\zeta'' + 2i\Omega \zeta' + (w_n^2 - \Omega^2)\zeta = e \Omega^2ζ′′+2iΩζ′+(wn2−Ω2)ζ=eΩ2，解为ζ=e(Ω/wn)21−(Ω/wn)2\zeta = \frac{e(\Omega/w_n)^2}{1-(\Omega/w_n)^2}ζ=1−(Ω/wn)2e(Ω/wn)2
ζ\zetaζ与时间无关，即o′o'o′相对转动坐标系不动，而且∣ζ∣=∣A∣|\zeta|=|A|∣ζ∣=∣A∣，固定坐标系下的响应振幅等于转动坐标系下相对平衡位置的大小
1.4 陀螺力矩
圆盘不装在转轴中间，当转轴弯曲，圆盘轴线会与两支点连线有一夹角ψ\psiψ
圆盘对质心o′o'o′的动量矩为H=JpΩH=J_p \OmegaH=JpΩ，动力矩与两支点连线夹角ψ\psiψ
由于进动，圆盘的动量矩方向会不断变化，根据动量矩定理，动量矩变化是受到了力矩（动量变化是受到了力）。
力矩Mg=−(wnxH)=HxwnM_g = -(w_n x H) = H x w_nMg=−(wnxH)=Hxwn，力矩方向与平面o′ABo'ABo′AB垂直，称为陀螺力矩或回转力矩，是圆盘加于转轴的力矩。
注：一些书上说固定坐标系下叫陀螺力矩，转动坐标系下叫回转力矩。这本书上管这个力矩叫惯性力矩，但我认为在转动坐标系下才叫惯性力矩，地面上的固定坐标系一般认为是惯性坐标系怎么会有惯性力呢？
∣Mg∣=Hwnsin(ψ)|M_g| = H w_n sin(\psi)∣Mg∣=Hwnsin(ψ)，由于ψ\psiψ很小，∣Mg∣=Hwnψ|M_g| = H w_n \psi∣Mg∣=Hwnψ，力矩与转角成正比，相当于弹性力矩
在正进动0<ψ<π/20<\psi <\pi /20<ψ<π/2时，陀螺力矩使转轴变形减小，提高了临界角速度
在反进动π>ψ>π/2\pi > \psi >\pi /2π>ψ>π/2时，陀螺力矩使转轴变形减大，降低了临界角速度
1.4.1 圆盘的角速度
圆盘不装在转轴中间时，圆盘有绕圆盘直径的转动，也有绕圆盘轴线的转动，用欧拉角来描述。
移动坐标系o′xyzo'xyzo′xyz
固结于圆盘的坐标系o′ζηξo'\zeta \eta \xio′ζηξ，o′ξo'\xio′ξ为圆盘中心轴
圆盘初始位于o′ξ0η0ζ0=o′xyzo'\xi_0 \eta_0 \zeta_0 = o'xyzo′ξ0η0ζ0=o′xyz
绕o′yo'yo′y转θy\theta_yθy到达o′ξ1η0ζ1o'\xi_1 \eta_0 \zeta_1o′ξ1η0ζ1
绕o′ξ1o'\xi_1o′ξ1转θξ\theta_{\xi}θξ到达o′ξ1η1ζo'\xi_1 \eta_1 \zetao′ξ1η1ζ
绕o′ζo'\zetao′ζ转ϕ\phiϕ到达o′ξηζo'\xi \eta \zetao′ξηζ
圆盘绝对角速度w=θξ′+θy′+ϕ′w=\theta_{\xi}'+\theta_y'+\phi'w=θξ′+θy′+ϕ′
圆盘相对随动坐标系o′ξ1η1ζo'\xi_1 \eta_1 \zetao′ξ1η1ζ的转动，w1=θξ′+θy′w_1 = \theta_{\xi}'+\theta_y'w1=θξ′+θy′
www沿随动坐标系o′ξ1η1ζo'\xi_1 \eta_1 \zetao′ξ1η1ζ各轴的分解
{wξ1=θξ′wη1=θy′cos(θξ)wζ=ϕ′−θy′sin(θξ)=Ω−θy′sin(θξ)\left\{ \begin{aligned} w_{\xi_1} = \theta_{\xi}'\\ w_{\eta_1} = \theta_y'cos(\theta_{\xi})\\ w_{\zeta} = \phi' - \theta_y'sin(\theta_{\xi}) = \Omega - \theta_y'sin(\theta_{\xi}) \end{aligned} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧wξ1=θξ′wη1=θy′cos(θξ)wζ=ϕ′−θy′sin(θξ)=Ω−θy′sin(θξ)
www沿随动坐标系o′ξηζo'\xi \eta \zetao′ξηζ各轴的分解
{wξ=θξ′cos(ϕ)+θy′cos(θξ)sin(ϕ)wη=−θξ′sin(ϕ)+θy′cos(θξ)cos(ϕ)wζ=Ω−θy′sin(θξ)\left\{ \begin{aligned} w_{\xi} = \theta_{\xi}'cos(\phi) + \theta_y'cos(\theta_{\xi})sin(\phi)\\ w_{\eta} = -\theta_{\xi}'sin(\phi) + \theta_y'cos(\theta_{\xi})cos(\phi)\\ w_{\zeta} = \Omega - \theta_y'sin(\theta_{\xi}) \end{aligned} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧wξ=θξ′cos(ϕ)+θy′cos(θξ)sin(ϕ)wη=−θξ′sin(ϕ)+θy′cos(θξ)cos(ϕ)wζ=Ω−θy′sin(θξ)
www沿随动坐标系o′ζo'\zetao′ζ轴与o′ξ1η1o'\xi_1 \eta_1o′ξ1η1平面的分解
{we=wξ1i1+wη1j1=wξi+wηjwζ=Ω−θy′sin(θξ)\left\{ \begin{aligned} w_e = w_{\xi_1} i_1 + w_{\eta_1} j_1 = w_{\xi}i + w_{\eta}j \\ w_{\zeta} = \Omega - \theta_y'sin(\theta_{\xi}) \end{aligned} \right. {we=wξ1i1+wη1j1=wξi+wηjwζ=Ω−θy′sin(θξ)
w1w1w1沿随动坐标系o′ξ1η1ζo'\xi_1 \eta_1 \zetao′ξ1η1ζ各轴的分解
{w1ξ1=θξ′w1η1=θy′cos(θξ)w1ζ=−θy′sin(θξ)\left\{ \begin{aligned} w_{1 \xi_1} = \theta_{\xi}'\\ w_{1 \eta_1} = \theta_y'cos(\theta_{\xi})\\ w_{1 \zeta} = - \theta_y'sin(\theta_{\xi}) \end{aligned} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧w1ξ1=θξ′w1η1=θy′cos(θξ)w1ζ=−θy′sin(θξ)
三维旋转：欧拉角、四元数、旋转矩阵、轴角之间的转换 https://zhuanlan.zhihu.com/p/45404840
欧拉角可视化工具 http://danceswithcode.net/engineeringnotes/rotations_in_3d/demo3D/rotations_in_3d_tool.html
1.4.2 圆盘的动量矩
只绕一根轴转动时，动量矩H=JwH=JwH=Jw。圆盘的转动很复杂，因此动量矩也很复杂。
书上之前转动坐标系为sξηs\xi \etasξη，现在为ζξη\zeta \xi \etaζξη
将动量矩在转动坐标系分解，G=Jξwξi+Jηwηj+JζwζkG=J_{\xi} w_{\xi} i + J_{\eta} w_{\eta} j + J_{\zeta} w_{\zeta} kG=Jξwξi+Jηwηj+Jζwζk，前两个转动惯量为直径或赤道转动惯量JdJ_dJd，最后一个为极转动惯量JpJ_pJp
轴对称圆盘对其中心o′o'o′的动量矩，G=Jdwe+JpwζkG=J_d w_e + J_p w_{\zeta} kG=Jdwe+Jpwζk
动量矩在自转轴上的投影，Gζ=Jp(Ω−θy′sin(θξ))kG_{\zeta} = J_p(\Omega - \theta_y' sin(\theta_{\xi})) kGζ=Jp(Ω−θy′sin(θξ))k
G=Jdθξ′i1+Jdθy′cos(θξ)j1+Jp(Ω−θy′sin(θξ))kG=J_d\theta_{\xi}' i_1 + J_d \theta_y' cos(\theta_{\xi}) j_1 + J_p(\Omega - \theta_y' sin(\theta_{\xi})) kG=Jdθξ′i1+Jdθy′cos(θξ)j1+Jp(Ω−θy′sin(θξ))k
转轴截面转角为小量，简化为G=Jpwζk=HkG=J_p w_{\zeta} k = H kG=Jpwζk=Hk
1.4.3 圆盘的动能
T=Gw/2=(Gξ1wξ1+Gη1wη1+Gζwζ)/2T=Gw/2 = (G_{\xi_1}w_{\xi_1} + G_{\eta_1}w_{\eta_1} + G_{\zeta}w_{\zeta})/2T=Gw/2=(Gξ1wξ1+Gη1wη1+Gζwζ)/2
T=[Jd(θξ′2+θy′2cos(θξ)2)+Jpθy′2sin(θξ)2+JpΩ2−2JpΩθy′sin(θξ)]/2T=[Jd(\theta_{\xi}'^2 + \theta_y'^2 cos(\theta_{\xi})^2) + J_p\theta_y'^2 sin(\theta_{\xi})^2 + J_p\Omega^2 - 2J_p\Omega \theta'_y sin(\theta_{\xi})]/2T=[Jd(θξ′2+θy′2cos(θξ)2)+Jpθy′2sin(θξ)2+JpΩ2−2JpΩθy′sin(θξ)]/2
转轴截面转角θξ\theta_{\xi}θξ与θy\theta_yθy为小量，则sin(θξ)≈θξ≈θx,cos(θξ)≈1sin(\theta_{\xi}) \approx \theta_{\xi} \approx \theta_x, cos(\theta_{\xi}) \approx 1sin(θξ)≈θξ≈θx,cos(θξ)≈1，忽略二阶小量，简化为T=[Jd(θx′2+θy′2)+JpΩ2−2JpΩθy′θx]/2T=[Jd(\theta_x'^2 + \theta_y'^2) + J_p\Omega^2 - 2J_p\Omega \theta'_y \theta_x]/2T=[Jd(θx′2+θy′2)+JpΩ2−2JpΩθy′θx]/2
注：无穷小量Infinitesimals即以数0为极限的变量，无限接近于0，二阶小量是其中一种。
1.5 圆盘绕其中心的转动方程
动量矩定理：动量矩的变化量等于外力矩
移动坐标系o′xyzo'xyzo′xyz中动量矩的变化率dGdt=M\frac{dG}{dt}=MdtdG=M
转动坐标系o′ξ1η1ζo'\xi_1 \eta_1 \zetao′ξ1η1ζ中动量矩的变化率dG^dt=dGdt−w1×G\frac{d\hat{G}}{dt} = \frac{dG}{dt} - w_1\times GdtdG^=dtdG−w1×G，w1w_1w1为转动坐标系的角速度。
−(w1×G)-(w_1 \times G)−(w1×G)为陀螺力矩
将转动坐标系中的动量矩变化率沿转动坐标系各轴分解
{dGξ1dt+w1η1Gζ−w1ζGη1=Mξ1dGη1dt+w1ζGξ−w1ξ1Gζ=Mη1dGζdt+w1ξ1Gη1−w1η1Gξ1=Mζ\left\{ \begin{aligned} \frac{dG_{\xi_1}}{dt} + w_{1\eta_1}G_{\zeta} - w_{1\zeta}G_{\eta_1} = M_{\xi_1}\\ \frac{dG_{\eta_1}}{dt} + w_{1\zeta}G_{\xi} - w_{1\xi_1}G_{\zeta} = M_{\eta_1}\\ \frac{dG_{\zeta}}{dt} + w_{1\xi_1}G_{\eta_1} - w_{1\eta_1}G_{\xi_1} = M_{\zeta} \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧dtdGξ1+w1η1Gζ−w1ζGη1=Mξ1dtdGη1+w1ζGξ−w1ξ1Gζ=Mη1dtdGζ+w1ξ1Gη1−w1η1Gξ1=Mζ
{Jd(θξ′′+θy′2sin(θξ)cos(θξ))+Hθy′cos(θξ)=Mξ1Jd(θy′′cos(θξ)−2θξθy′sin(θξ))−Hθξ′=Mη1dHdt=Mζ\left\{ \begin{aligned} J_d(\theta_{\xi}'' + \theta_y'^2 sin(\theta_{\xi})cos(\theta_{\xi})) + H\theta_y'cos(\theta_{\xi}) = M_{\xi_1}\\ J_d(\theta_y''cos(\theta_{\xi}) - 2\theta_{\xi}\theta_y' sin(\theta_{\xi})) - H\theta_{\xi}' = M_{\eta_1}\\ \frac{dH}{dt} = M_{\zeta} \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧Jd(θξ′′+θy′2sin(θξ)cos(θξ))+Hθy′cos(θξ)=Mξ1Jd(θy′′cos(θξ)−2θξθy′sin(θξ))−Hθξ′=Mη1dtdH=Mζ
转轴截面转角θξ\theta_{\xi}θξ与θy\theta_yθy为小量，则sin(θξ)≈θξ≈θx,cos(θξ)≈1sin(\theta_{\xi}) \approx \theta_{\xi} \approx \theta_x, cos(\theta_{\xi}) \approx 1sin(θξ)≈θξ≈θx,cos(θξ)≈1，忽略二阶小量，简化为
{Jdθx′′+Hθy′=Mξ1≈MxJdθy′′−Hθx′=Mη1≈MydHdt=Mζ\left\{ \begin{aligned} J_d\theta_x'' + H\theta_y' = M_{\xi_1} \approx M_x\\ J_d\theta_y'' - H\theta_x' = M_{\eta_1} \approx M_y\\ \frac{dH}{dt} = M_{\zeta} \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧Jdθx′′+Hθy′=Mξ1≈MxJdθy′′−Hθx′=Mη1≈MydtdH=Mζ
将圆盘的转动微分方程从圆盘的转动坐标系o′ξ1η1ζo'\xi_1\eta_1\zetao′ξ1η1ζ转移到转动坐标系o′xyζo'xy\zetao′xyζ
转子正常运转时，驱动力矩与阻力矩平衡，Mζ=0M_{\zeta}=0Mζ=0
{Jdθx′′+JpΩθy′=MxJdθy′′−JpΩθx′=My\left\{ \begin{aligned} J_d\theta_x'' + J_p \Omega \theta_y' = M_x\\ J_d\theta_y'' - J_p \Omega \theta_x' = M_y \end{aligned} \right. {Jdθx′′+JpΩθy′=MxJdθy′′−JpΩθx′=My
圆盘所受的外力与外力矩需要转轴给的弹性力与弹性力矩来平衡，在转动坐标系中，外力为惯性力与惯性力矩
圆盘的运动微分方程，包括圆盘的移动与转动微分方程，圆盘o′o'o′有四个位移，绕x与绕y的转角，沿x与y的位移，
{mx′′+k11x+k14θy=0my′′+k22y−k23θx=0Jdθx′′+JpΩθy′+k32x+k33θx=0Jdθy′′−JpΩθx′+k41x+k41θy=0(1.47)\left\{ \begin{aligned} mx'' + k_{11}x + k_{14}\theta_y = 0 \\ my'' + k_{22}y - k_{23}\theta_x = 0 \\ J_d\theta_x'' + J_p \Omega \theta_y' + k_{32}x + k_{33}\theta_x = 0\\ J_d\theta_y'' - J_p \Omega \theta_x' + k_{41}x + k_{41}\theta_y = 0 \end{aligned} \right. (1.47) ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧mx′′+k11x+k14θy=0my′′+k22y−k23θx=0Jdθx′′+JpΩθy′+k32x+k33θx=0Jdθy′′−JpΩθx′+k41x+k41θy=0(1.47)
用拉格朗日方程也可以推出1.47
1.6 考虑陀螺力矩时，转子的临界角速度
求解1.47四个微分方程的特征根可得到转子振动的自然频率wnw_nwn，即进动角速度。
临界角速度就是与进动角速度相等的(工作)转动角速度。
如果转轴截面为圆，则
{k11=k22=krrk33=k44=kψψk14=k41=k23=k32=kψr=krψ\left\{ \begin{aligned} k_{11}=k_{22}=k_{rr} \\ k_{33}=k_{44}=k_{\psi \psi} \\ k_{14}=k_{41}=k_{23}=k_{32}=k_{\psi r}=k_{r \psi} \end{aligned} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧k11=k22=krrk33=k44=kψψk14=k41=k23=k32=kψr=krψ
复变量z=x+iy,ψ=θy−iθxz=x+iy, \psi = \theta_y - i \theta_xz=x+iy,ψ=θy−iθx
则1.47变为
{mz′′+krrz+krψψ=0Jdψ′′−iJpΩψ+kψrz+kψψψ=0\left\{ \begin{aligned} mz'' + k_{rr}z + k_{r\psi}\psi = 0 \\ J_d\psi'' - iJ_p \Omega \psi+ k_{\psi r}z + k_{\psi \psi}\psi = 0 \end{aligned} \right. {mz′′+krrz+krψψ=0Jdψ′′−iJpΩψ+kψrz+kψψψ=0
{z′′+wrr2z+wrψ2ψ=0ψ′′−iJpJdΩψ+wψr2z+wψψ2ψ=0\left\{ \begin{aligned} z'' + w_{rr}^2 z + w_{r\psi}^2 \psi = 0 \\ \psi'' - i\frac{J_p}{J_d} \Omega \psi+ w_{\psi r}^2 z + w_{\psi \psi}^2 \psi = 0 \end{aligned} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧z′′+wrr2z+wrψ2ψ=0ψ′′−iJdJpΩψ+wψr2z+wψψ2ψ=0
解为z=z0eiwnt,ψ=ψ0eiwntz=z_0e^{iw_nt}, \psi=\psi_0e^{iw_nt}z=z0eiwnt,ψ=ψ0eiwnt
带入方程可得
{(−wn2+wrr2)z0+wrψ2ψ0=0wψr2z0+[−wn2+JpJdΩwn+wψψ2]ψ0=0\left\{ \begin{aligned} (-w_n^2 + w_{rr}^2 )z_0 + w_{r\psi}^2 \psi_0 = 0 \\ w_{\psi r}^2 z_0 +[- w_n^2 + \frac{J_p}{J_d} \Omega w_n + w_{\psi \psi}^2 ] \psi_0 = 0 \end{aligned} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧(−wn2+wrr2)z0+wrψ2ψ0=0wψr2z0+[−wn2+JdJpΩwn+wψψ2]ψ0=0
将上面复变量微分方程组第一个带入第二个中，得到特征值方程（频率方程），微分方程组变成了一元四次方程
(−wn2+wrr2)[−wn2+JpJdΩwn+wψψ2]−wrψ2wψr2=0(-w_n^2 + w_{rr}^2 )[- w_n^2 + \frac{J_p}{J_d} \Omega w_n + w_{\psi \psi}^2 ] - w_{r\psi}^2w_{\psi r}^2 = 0(−wn2+wrr2)[−wn2+JdJpΩwn+wψψ2]−wrψ2wψr2=0
该方程有四个根，四个进动角速度
如果没有陀螺力矩
{(−wn2+wrr2)z0+wrψ2ψ0=0(−wn2+wψψ2)ψ0+wψr2z0=0\left\{ \begin{aligned} (-w_n^2 + w_{rr}^2 )z_0 + w_{r\psi}^2 \psi_0 = 0 \\ (-w_n^2 + w_{\psi \psi}^2 )\psi_0 + w_{\psi r}^2 z_0 = 0 \end{aligned} \right. {(−wn2+wrr2)z0+wrψ2ψ0=0(−wn2+wψψ2)ψ0+wψr2z0=0
(−wn2+wrr2)(−wn2+wψψ2)−wrψ2wψr2=0(-w_n^2 + w_{rr}^2 )(-w_n^2 + w_{\psi \psi}^2) - w_{r\psi}^2w_{\psi r}^2 = 0(−wn2+wrr2)(−wn2+wψψ2)−wrψ2wψr2=0
wn4−(wrr2+wψψ2)wn2+wrr2wψψ2−wrψ2wψr2=0w_n^4 - (w_{rr}^2 + w_{\psi \psi}^2)w_n^2 + w_{rr}^2w_{\psi \psi}^2 - w_{r\psi}^2w_{\psi r}^2 = 0wn4−(wrr2+wψψ2)wn2+wrr2wψψ2−wrψ2wψr2=0
该方程有四个根，四个进动角速度，但进动角速度不会变化
进动角速度的振型，zψ=z0ψ0=−wrψ2wrr2−wn2\frac{z}{\psi} = \frac{z_0}{\psi_0} = \frac{-w_{r\psi}^2}{w_{rr}^2-w_n^2}ψz=ψ0z0=wrr2−wn2−wrψ2
example
圆盘质量m=20kgm=20kgm=20kg，半径R=12cmR=12cmR=12cm；转轴跨度l=75cml=75cml=75cm，直径d=3cmd=3cmd=3cm。圆盘至左支点的距离a=l/3=25cma=l/3=25cma=l/3=25cm。求转子的进动角速度，振型，临界角速度。
求解进动角速度与临界角速度
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
@time: 2021-08-22 下午 04:51
@author: leslie lee转轴a位置受P力时 a处的挠度与截面转角
r = 4*P*l**3/(243*E*I)
psi = 2*P*l**2/(81*E*I)
转轴a位置受M力矩时 a处的挠度与截面转角
r = 2*M*l**2/(81*E*I)
psi = M*l/(9*E*I)
如果 P=1 M=1 得到的位移就是柔度系数
刚度矩阵为柔度矩阵的逆sympy 复数结果 提取实部 ? 没有找到简单的好方法
as_real_imag() 结果为复数
re() 提取实部
im() 提取虚部
np.real()无法处理 应该是无法识别sympy中的虚数单位 I
"""
import numpy as np
import sympy as spm = 20 # 圆盘质量 kg
R = 12 # 圆盘半径 cm
l = 75 # 转轴长度 cm
d = 3 # 转轴直径 cm
a = l/3 # 圆盘位置 cm
E = 20.58*1e6 # 转轴弹性模量 N/cm^2 钢# 圆盘转动惯量
Jp = m*R**2/2
Jd = Jp/2
# 转轴截面惯性矩
I = np.pi*d**4/64
# 转轴
P = 1
a_rr = 4*P*l**3/(243*E*I) # 单位力 产生的位移
a_rp = 2*P*l**2/(81*E*I) # 单位力 产生的转角
M = 1
a_pr = 2*M*l**2/(81*E*I) # 单位力矩 产生的位移
a_pp = M*l/(9*E*I) # 单位力矩 产生的转角
A = np.array([[a_rr, a_rp], [a_pr, a_pp]]) # 柔度矩阵 单位力产生的位移 cm/N rad/N cm/M rad/M
K = np.linalg.pinv(A) # 刚度矩阵 产生单位位移所需的力 N/cm N/rad M/rad M/cm
k_rr, k_rp, k_pr, k_pp = K[0,0], K[0,1], K[1,0], K[1,1]""" 单位换算
krr N/cm
krp=kpr N N/rad=N M/cm=N*cm/cm=N rad无量纲
kpp N*cmw2_rr = k_rr/m (N/cm)/(kg)=(kg*m/s^2/cm)/(kg)=100*1/s^2
w2_rp = k_rp/m (N)/(kg)=(kg*m/s^2)/(kg)=100*cm/s^2
w2_pp = k_pp/Jd (N*cm)/(kg*cm^2)=(kg*m/s^2*cm)/(kg*cm^2)=100*1/s^2
w2_pr = k_pr/Jd (N)/(kg*cm^2)=(kg*m/s^2)/(kg*cm^2)=100*1/(s^2*cm)
"""
w2_rr = k_rr/m*1e2
w2_rp = k_rp/m*1e2
w2_pp = k_pp/Jd*1e2
w2_pr = k_pr/Jd*1e2# Omega = 200 # 转速 rad/s
wn = sp.symbols('wn') # 特征根 1/s wn = sp.Symbol('wn')
# 遍历
for Omega in np.arange(0,2000,200):# 方程1 有陀螺力矩eq1 = (-wn**2 + w2_rr)*(-wn**2 + (Jp/Jd)*Omega*wn + w2_pp) - w2_rp*w2_pr# 方程2 无陀螺力矩eq2 = (-wn**2 + w2_rr)*(-wn**2 + w2_pp) - w2_rp*w2_pr# 解方程print(sp.solve(eq2))
求临界转速，我只列举两个方法：
方1：可以绘制坎贝尔图观察
方2：OmegaOmegaOmega为反向，将wn=−Ωw_n=-\Omegawn=−Ω带入方程求解，OmegaOmegaOmega为正向，将wn=Ωw_n=\Omegawn=Ω带入方程求解
Omega = sp.symbols('Omega') # 特征根 1/s Omega = sp.Symbol('Omega')
eq1 = (-Omega**2 + w2_rr)*(-Omega**2 + (Jp/Jd)*Omega*Omega + w2_pp) - w2_rp*w2_pr
eq2 = (-Omega**2 + w2_rr)*(-Omega**2 - (Jp/Jd)*Omega*Omega + w2_pp) - w2_rp*w2_prprint(sp.solve(eq1))
print(sp.solve(eq2))
'''
[-244.442111078112, 244.442111078112, -1420.23599311756*I, 1420.23599311756*I]
[-844.987991611588, -237.205839436574, 237.205839436574, 844.987991611588]
'''
前三阶临界转速为：反向237.205 正向244.442 反向844.988 rad/s，且只有三阶（取复数的实部）
求解振型
# 角速度为200rad/s时的四阶进动角速度
wns = [243.8324214, 1652.071068, -237.8166687, -1258.086821]
for wn in wns:z_psi = -w2_rp/(w2_rr - wn**2) # 单位 cmprint(z_psi)'''
50.93070501720033
-0.5577122225702382
46.29261349959544
-0.9856062550798872
'''
振型图的绘制，以角速度为200rad/s200rad/s200rad/s为例：
求出o′o'o′处的振型，两端为简支，已知一阶进动与二阶进动的振型形状，则可以绘制出大概的振型图
如果圆盘装在中间，那么krr=48EI/l3,kψψ=12EI/l,krψ=kψr=0k_{rr}=48EI/l^3, k_{\psi \psi}=12EI/l, k_{r \psi}=k_{\psi r} = 0krr=48EI/l3,kψψ=12EI/l,krψ=kψr=0
微分方程为
{mz′′+krrz=0Jdψ′′−iHψ+kψψψ=0\left\{ \begin{aligned} mz'' + k_{rr}z = 0 \\ J_d\psi'' - iH\psi + k_{\psi\psi}\psi = 0 \end{aligned} \right. {mz′′+krrz=0Jdψ′′−iHψ+kψψψ=0
自然频率为
{wnz=krr/m−wnψ2+JpJdΩwnψ+wψψ2=0\left\{ \begin{aligned} w_{nz} = \sqrt{k_{rr}/m} \\ -w_{n \psi}^2 + \frac{J_p}{J_d} \Omega w_{n \psi} + w_{\psi\psi}^2= 0 \end{aligned} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧wnz=krr/m−wnψ2+JdJpΩwnψ+wψψ2=0
import numpy as np
import sympy as spm = 20 # 圆盘质量 kg
R = 12 # 圆盘半径 cm
l = 75 # 转轴长度 cm
d = 3 # 转轴直径 cm
a = l/2 # 圆盘位置 cm
E = 20.58*1e6 # 转轴弹性模量 N/cm^2 钢# 圆盘转动惯量
Jp = m*R**2/2
Jd = Jp/2
# 转轴截面惯性矩
I = np.pi*d**4/64
# 转轴
k_rr, k_rp, k_pr, k_pp = 48*E*I/l**3, 0, 0, 12*E*I/lw2_rr = k_rr/m*1e2
w2_rp = k_rp/m*1e2
w2_pp = k_pp/Jd*1e2
w2_pr = k_pr/Jd*1e2Omega = sp.symbols('Omega') # 特征根 1/s Omega = sp.Symbol('Omega')
eq1 = -Omega**2 + Jp/Jd*Omega*Omega + w2_pp
eq2 = -Omega**2 - Jp/Jd*Omega*Omega + w2_ppprint((w2_rr)**0.5)
print(sp.solve(eq1))
print(sp.solve(eq2))'''
215.75649075713136
[-1348.47806723207*I, 1348.47806723207*I]
[-778.544175112742, 778.544175112742]
'''
因此如果圆盘置中，可以求出三个自然频率，第一个方程一个，第二个方程两个。第二个微分方程求出的也是两个进动角速度。
临界转速有两个，一阶临界转速为215.756，二阶临界转速为778.544（反进动）
1.7 弹性支承对转子临界转速的影响
轴承考虑弹性，左右支承点也有位移了就不再是之前的0，使得转子的进动角速度或临界转速降低。
支点坐标A′=(xA,yA),B′=(xB,yB)A'=(x_A,y_A), B'=(x_B,y_B)A′=(xA,yA),B′=(xB,yB)，o′o'o′的坐标(x,y)(x,y)(x,y)
o′o'o′的坐标以及截面转角(x,y,θx,θy)=(x1+x′,y1+y′,θxA+θx′,θyA+θy′)(x,y,\theta_x,\theta_y) = (x_1+x', y_1+y', \theta_{xA}+\theta_x', \theta_{yA}+\theta_y')(x,y,θx,θy)=(x1+x′,y1+y′,θxA+θx′,θyA+θy′)
o′o'o′的位移是由两部分叠加的，第一部分为轴承变形造成的转轴位移（刚体位移），第二部分为转轴弯曲变形。
下面考虑当转轴受力而只有支点发生形变时，即受外力后，弹性力来自轴承而非轴承加转轴。求转轴的柔度系数。
支点位移即o′o'o′位移
{−θxA=(yB−yA)/lθyA=(xB−xA)/lx1=(1−a/l)xA+(a/l)xBy1=(1−a/l)yA+(a/l)yB\left\{ \begin{aligned} -\theta_{xA} = (y_B - y_A)/l \\ \theta_{yA} = (x_B - x_A)/l \\ x_{1} = (1 - a/l)x_A + (a/l)x_B \\ y_{1} = (1 - a/l)y_A + (a/l)y_B \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧−θxA=(yB−yA)/lθyA=(xB−xA)/lx1=(1−a/l)xA+(a/l)xBy1=(1−a/l)yA+(a/l)yB
支点弹簧沿x与y方向刚度相同时，可以用复变量表示
{r1=x1+iy1=(1−a/l)rA+(a/l)rBψA=θyA−iθxA=(rB−rA)/l\left\{ \begin{aligned} r_1 = x_1 + iy_1 = (1 - a/l)r_A + (a/l)r_B \\ \psi_A = \theta_{yA} -i \theta_{xA} = (r_B - r_A)/l \end{aligned} \right. {r1=x1+iy1=(1−a/l)rA+(a/l)rBψA=θyA−iθxA=(rB−rA)/l
rAr_ArA与rBr_BrB为转轴两端简支时求出的支反力与轴承刚度之比，rA=RA/kAr_A = R_A/k_ArA=RA/kA与rB=RB/kBr_B=R_B/k_BrB=RB/kB，kAk_AkA与kAk_AkA为轴承刚度
受外力时的支反力
{RA=P(l−a)/lRB=Pa/l1.7.1\left\{ \begin{aligned} R_A=P(l-a)/l \\ R_B=Pa/l \end{aligned} \right. 1.7.1 {RA=P(l−a)/lRB=Pa/l1.7.1
受外力矩时的支反力
{RA=−M/lRB=M/l1.7.2\left\{ \begin{aligned} R_A = -M/l \\ R_B = M/l \end{aligned} \right. 1.7.2 {RA=−M/lRB=M/l1.7.2
将1.7.1带入o′o'o′位移，得r1,ψAr_1, \psi_Ar1,ψA，r1=arrP,ψA=aψrPr_1=a_{rr}P, \psi_A=a_{\psi r}Pr1=arrP,ψA=aψrP
将1.7.2带入o′o'o′位移，得r1,ψAr_1, \psi_Ar1,ψA，r1=arψM,ψA=aψψMr_1=a_{r\psi}M, \psi_A=a_{\psi \psi}Mr1=arψM,ψA=aψψM
这是只有支点位移时的柔度系数（只有轴承变形），再加上支点0位移时的柔度系数（只有转轴变形），即为总柔度系数。
以之前的实例，研究轴承刚度变化对临界转速的影响
将之前求得的转轴柔度系数与支点位移时的柔度系数叠加，得到总的柔度系数
由柔度矩阵取逆得出刚度矩阵，将刚度系数带入特征方程可求出自然频率与临界角速度
import numpy as np
import sympy as spm = 20 # 圆盘质量 kg
R = 12 # 圆盘半径 cm
l = 75 # 转轴长度 cm
d = 3 # 转轴直径 cm
a = l/3 # 圆盘位置 cm
E = 20.58*1e6 # 转轴弹性模量 N/cm^2 钢# 圆盘转动惯量
Jp = m*R**2/2
Jd = Jp/2
# 转轴截面惯性矩
I = np.pi*d**4/64
# 转轴
kc = 81*E*I/l**3
kA = kB = np.inf # kc/10# 支点变形时转轴的柔度系数
a_rr1 = 1/kA*(1-a/l)**2 + 1/kB*(a/l)**2
a_pr1 = (1/kB*a/l - 1/kA*(1-a/l))/l
a_rp1 = (1/kB*a/l - 1/kA*(1-a/l))/l
a_pp1 = (1/kA + 1/kB)/l**2
# 转轴变形的柔度系数
a_rr2 = 4*l**3/(243*E*I)
a_rp2 = 2*l**2/(81*E*I)
a_pr2 = 2*l**2/(81*E*I)
a_pp2 = l/(9*E*I)
# 合并
a_rr = a_rr1 + a_rr2
a_pr = a_pr1 + a_pr2
a_rp = a_rp1 + a_rp2
a_pp = a_pp1 + a_pp2A = np.array([[a_rr, a_rp], [a_pr, a_pp]]) # 柔度矩阵 单位力产生的位移 cm/N rad/N cm/M rad/M
K = np.linalg.pinv(A) # 刚度矩阵 产生单位位移所需的力 N/cm N/rad M/rad M/cm
k_rr, k_rp, k_pr, k_pp = K[0,0], K[0,1], K[1,0], K[1,1]w2_rr = k_rr/m*1e2
w2_rp = k_rp/m*1e2
w2_pp = k_pp/Jd*1e2
w2_pr = k_pr/Jd*1e2Omega = sp.symbols('Omega') # 特征根 1/s Omega = sp.Symbol('Omega')
eq1 = (-Omega**2 + w2_rr)*(-Omega**2 + (Jp/Jd)*Omega*Omega + w2_pp) - w2_rp*w2_pr
eq2 = (-Omega**2 + w2_rr)*(-Omega**2 - (Jp/Jd)*Omega*Omega + w2_pp) - w2_rp*w2_prprint(sp.solve(eq1))
print(sp.solve(eq2))
可以发现，减小支承刚度会显著的降低临界转速。
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