转子动力学为固体力学的分支。主要研究转子-支承系统在旋转状态下的振动、平衡和稳定性问题，尤其是研究接近或超过临界转速运转状态下转子的横向振动问题，其目的为旋转机械转子的设计、效率、安全和寿命提供理论和技术上的支持和保障。转子是涡轮机、电机等旋转式机械中的主要旋转部件。

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一、单盘转子模态分析

1、问题描述：如图刚性支撑单圆盘转子，圆盘质量m=20kg，半径R=120mm，转轴的跨度l=750mm，直径d=30mm。圆盘到左支点的距离a=l/3=250mm。求该转子临界转速及振型。(摘自《转子动力学》钟一谔 1987年 P14页 )刚性支撑单圆盘转子

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2、理论解：仅考虑轴的弯曲不计轴的质量，加上回转效应时的频率方程为：为转速，为待求涡动频率。定义不同的转速 ，代入上式便可求得对应的各阶涡动频率(正进动和反进动)。

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通过上述涡动频率可绘制出坎贝尔图，图中的曲线与 直线的交点为该转子的一倍频临界转速，共有叁个，故该刚性支撑单圆盘转子前叁阶固有频率为：2265.09 rpm；2333.85 rp；8069.16 rpm。

3、ANSYS APDL分析：圆盘采用MASS21单元模拟，转轴采用BEAM188单元模拟，轴的两端为简支约束。其有限元模型如下图所示，求解可得到各阶涡动频率，使用plorb命令输出各阶振型轨迹：

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使用plcamp命令得到坎贝尔图：

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如上图得到前叁阶临界转速为：2263.8rpm；2333.0rpm；8078.1rpm。

4、ANSYS Workbench分析：圆盘通过Point Mass模拟，转轴在DM里面通过直线绘制赋予截面的方式模拟，轴的两端为简支约束。其有限元模型如下图所示，求解可得到各阶涡动频率，在Solution中导出前四阶振型如下：

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点击Campbell Diagram输出坎贝尔图：

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如上图得到前叁阶临界转速为：2226.4rpm；2293.8rpm；7928.1rpm。

5、结果对比：误差范围内，APDL和WB的精度均满足需求。读者可采用叁维模型求解与一维模型结果对比，若圆盘没使用Point Mass模拟而采用直接实体模型，得到的振型图与一维模型结果略有差异。

二、多圆盘转子不平衡响应分析(APDL)

1、问题描述：如图1所示刚性支承两圆盘转子，圆盘质量m=102kg，半径R=500mm，转轴的直径d=50mm，a=400mm，设圆盘偏心e1=0.05mm，e2=0.03mm，=30°，=60°。求该转子涡动频率、振型、临界转速及不平衡响应。(详见《转子动力学》钟一谔 第二章刚性支承多圆盘转子的临界转速和不平衡响应，例子源于P29)

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图1 刚性支承两圆盘转子

设圆盘的质量、直径转动惯量和极转动惯量分别为mi、Jdi和Jpi(i=1，2)、各轴段长为a，抗弯刚度为EI，其中

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柔度矩阵是

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因此系统在xos平面的运动微分方程是

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为求转子的模态频率及模态振型，只需通过在任一固定平面内的运动微分方程即可求得，令代入上式

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故频率方程为

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这是一个有关的8次代数方程，对于给定的，可解出4个正向涡动角速度和4个反向涡动角速度。绘制涡动角速度随自转角速度变化曲线可得坎贝尔图，令分别等于±代入频率方程，即可分别解出在同步正涡动和同步反涡动下的临界转速。

表1 临界转速：所谓转子的临界转速通常是指同步正向涡动时的临界转速。对于本算例的两圆盘转子系统，临界转速只有两个，即1158r/min和3183r/min。

坎贝尔图(左)各阶振型图(右),在无阻力情况下，当各圆盘具有偏心的不平衡质量时，令则转子的运动微分方程可写成,其中，设不平衡响应的特解为，其中，为待定的复数列阵。把特解代入运动微分方程可得。这是2N个线性非齐次代数方程组，对于给定的，上式等号左边各项系数均为实数，可以解得因为 是2N阶复数列阵，其中有N个元素为零，故中每一元素均为N个复数之和，即仍为一复数，故可表为其中都是已确定的值，代入特解可得，对于本例子，把数据代入特解表示的运动微分方程可得：

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其中则当时，可解得.

2、ANSYS APDL分析：采用MASS21单元模拟圆盘，采用BEAM188单元模拟转轴，轴的支承处为简支约束。

后处理中采用PLCAMP命令得到坎贝尔图如下。

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坎贝尔图，从图1可以看出，转子的临界转速按阶数由低到高分别为546.41prm、1148.76rpm、2217.89rpm、3162.96rpm、2097.02rpm、0、3591.12rpm、0，与理论解一致。

在谐响应分析中，以复数形式输入偏向质量所产生的不平衡力(X轴为旋转轴)。

对于圆盘1为：F,N1,FY,m1*e1*cos 1,-m1*e1*sin 1；F,N1,FZ,-m1*e1*sin 1,-m1*e1*cos 1。

对于圆盘2为：F,N2,FY,m2*e2*cos 2,-m2*e2*sin 2，F,N2,FZ,-m2*e2*sin 2,-m2*e2*cos 2。

在后处理中采用PLVAR命令输出圆盘1和圆盘2节点的总位移变化曲线。

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圆盘节点位移随激励频率变化关系。

从图2可以看出，曲线在19.2Hz和52.7Hz出现峰值，该两个峰值频率对应同步正进动(涡动)临界转速1152rpm和3162rpm，与模态分析结果相对应。

当频率为19.2Hz时，采用PLORB命令得到转子系统的轴心轨迹图如下。

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轴心轨迹图(1152rpm)，当频率为52.7Hz时，采用PLORB命令得到转子系统的轴心轨迹图如下。

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轴心轨迹图(3162rpm)，当转速为250 1/s，即39.8Hz时，采用PLORB命令转子系统的轴心轨迹图如下。

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轴心轨迹图(2387.32rpm)，采用PRORB命令输出该转速下的轴心轨迹数据，两圆盘中心轨迹为，轴心轨迹数据(2387.32rpm)，图6中A代表椭圆的长轴、B代表椭圆的短轴，圆盘1的轴心轨迹是半径为0.797e-4m的圆，圆盘2的轴心轨迹是轨迹为半径0.308e-4m的圆，与理论解一致。

叁、双转子电机不平衡响应分析(ANSYS Workbench)

1、问题描述：如图所示的电机含有两个转子：内转子和外转子。

内转子是一根实心轴，较长；它的两端通过轴承与机架相连；在两端距离轴承不远的地方装有两个圆盘(图中没有绘制，在有限元分析中圆盘会用质量单元表示)，而且右边的圆盘上存在不平衡质量，该不平衡质量产生了不平衡的力(f0 = 70e-6kg·m)。

外转子是一根空心轴，它套在内转子外面。外转子的左端与机架通过轴承相连，右端面通过轴承与内转子连接(图中没有表示出来)。在外转子上也有两个圆盘，这两个圆盘不存在偏心质量的问题。

内转子的转速是14000rpm，而外转子的转速是内转子的1.5倍，即21000rpm。

现在要对该双转子电机进行转子动力学仿真，具体是做谐响应分析，目的是考察：

(1)7号节点(内转子上)和12号节点(外转子上)的幅值与频率的关系图。也就是要绘制这两个点的幅频关系曲线。

(2)在某一个给定频率处的转轴轨迹图。

(3)在某一个给定频率处转轴的涡动动画。

注：例子来自ANSYS help中转子动力——8.7. Example Unbalance Harmonic Analysis。

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双转子电机示意图

2、模型建立

ANSYS DM中插入内转子与外转子模型，具体方式为file—import shaft geometry，得到模型如下：

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3、约束加载

在ANSYS Mechanical里面，分别给内转子的2号节点、7号节点和外转子的10号节点、12号节点添加圆盘相关参数(质量和转动惯量)；随后在connection里添加轴承约束；在7号节点的施加不平衡力，其中y方向为70e-6，z方向为-70e-6；在Analysis Setting中设置激励频率为0~233.3Hz，结果点数为500，采用完全法求解，常阻尼比为0.02.

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4、模拟结果

ANSYS Workbench得到7号节点(内转子上)和12号节点(外转子上)的幅值与频率的关系图如下：

在262步，122.267Hz下的轨迹如下：

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四、小结

在转子动力学方面，ANSYS APDL和ANSYS Workbench都能得到一致的结果，现阶段APDL的后处理效果相对更加丰富，而Workbench对于复杂模型操作更便捷，读者可以适当取舍，把Workbench结果导入APDL中作后处理。