知三维空间中任意旋转抛物面的顶点和焦点坐标，建立该旋转抛物面方程

建立三维空间旋转抛物线方程的前提，首先需要确定三维空间直角坐标系的位置，然后确定焦点和抛物面顶点的坐标，再利用焦点和抛物面顶点的坐标求出准面方程（我们这里把准面定义为是准线绕着焦点与抛物面顶点形成的直线旋转180°所形成的平面，且该平面垂直于焦点与抛物面顶点形成的直线），接着利用旋转抛物面的性质（抛物面上的一点到准面的距离和到焦点的距离相等），最后建立三维空间上的抛物面方程。

具体步骤如下：

（1）确定三维空间直角坐标系及相关点坐标首先，以基态反射面球心点为空间直角坐标系的原点，过原点竖直方向的直线记为 Z 轴，正方向竖直向上；过原点水平方向的直线记为 Y 轴，正方向水平向右；过原点与 Y、Z 轴两两相互垂直方向的直线记为 X 轴，正方向垂直向外；建立起的三维空间直角坐标系如图1所示：

图1

其中，旋转抛物面的焦点记为 M （x1 ， y 1 ， z 1 ）；旋转抛物面的顶点记为 N （x2 ， y 2 ， z 2 ）；

（2）利用焦点和抛物面顶点的坐标求出准面方程

① 首先确定直线 MN 的方程

由两点确定一条直线可知，利用 M 和 N 两点坐标就可以得到空间直线 MN 的方程如下：

②接着算出直线 MN 与准面的交点坐标，记为 V(x 3 , y 3 , z 3 )

利用旋转抛物面的性质可知，线段|MN|=|NV|,同时 V 点又在直线 MN 上，则由以下等式组解出 V 点坐标：

③然后利用直线 MN 与准面垂直的性质算出准面的方程

（3）接着由旋转抛物面的性质推出旋转抛物面方程

旋转抛物面的一性质为，旋转抛物面上一点到准面的距离等于到焦点 M 的距离，设旋转抛物面上的一点坐标为(x0, y0, z0),则有以下等式成立：

该等式就是所求的旋转抛物面方程。

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