控制系统的复数域模型——传递函数

控制系统的微分方程是在时间域内描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出响应。

但是微分方程模型在系统的结构改变或者某个参数发生变化时，就需要重新列写，不利于系统的分析和设计。

那么我们应该用什么样的模型来分析和设计控制系统呢？

不难知道，我们应该找一个这样的模型：模型本身的基本形式不会因为系统结构改变或者某个参数的变化而发生巨变。（在这里，我们把巨变定义为模型方程有微分或者积分的变化）。

那么我们如何找到一个这样的模型呢？显然，现在我们的任务就转化成了消除模型由于系统结构或者参数变化而产生的巨变，如何消除呢？在工程数学复变函数与积分变换中我们学到了一个叫做拉普拉斯变换的东西，它可以帮助我们把时域内的微积分运算转换为复数域内的代数运算，也就是把复杂的变换变得简单了。正好，拉普拉斯变换符合我们的需求，它可以把一个复杂的变化变得简单，让我们对系统的分析更加方便。所以，人们就提出了基于拉氏变换的控制系统复数域模型——传递函数。

传递函数

传递函数作为控制系统的复数域模型，它可以表征系统的动态性能，也可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能带来的影响。后面我们将了解到的控制系统分析方法（频率法和根轨迹法）就是以传递函数为基础建立起来的，要学好控制系统的分析与设计，学好传递函数是必经之路。

传递函数的定义和性质

线性定常系统的传递函数，我们定义为零初始条件下，系统输出的拉氏变换和输入的拉氏变换之比。

G(s)=C(s)R(s)G(s)=\frac{C(s)}{R(s)} G(s)=R(s)C(s)

传递函数的性质
- 传递函数是复变量s的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质，分母阶次高于分子，所有系数均为实数。
- 传递函数是表征系统输出与输出之间关系的表达式，它只取决于系统或者元件的结构和参数，与输入量无关，不反映系统内部的任何信息。
- 传递函数与微分方程具有相通性。在零初始条件下，将微分方程的算符
  ddt\frac{d}{dt} dtd
  
  用复数s置换便可以得到传递函数；反之，将s替换为d/dt也有相同的效果
  
  例如，下面的传递函数
  
  G(s)=C(s)R(s)=b1s+b2a0s2+a1s+a2G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{b_1s+b_2}{a_0s^2+a_1s+a_2} G(s)=R(s)C(s)=a0s2+a1s+a2b1s+b2
  我们将s统一替换为d/dt，可以得到微分方程
  
  b1dr(t)dt+b2r(t)=a0d2r(t)dt2+a1dr(t)dt+a2b_1\frac{dr(t)}{dt}+b_2r(t)=a_0\frac{d^2r(t)}{dt^2}+a_1\frac{dr(t)}{dt}+a_2 b1dtdr(t)+b2r(t)=a0dt2d2r(t)+a1dtdr(t)+a2
传递函数G(s)的拉氏逆变换是系统的脉冲响应g(t)。

怎么样得到系统的传递函数

给定一个系统，求解其传递函数的方法有很多种，在这里列出最常用的两种

等效复阻抗法
- 用R、1/Cs、Ls分别表示电阻、电容和电感的阻抗
- 根据电路连接关系列写关系式
- 在关系式组中找出C(s)/R(s)的关系式
**【例1】**求下图所示系统的传递函数

**分析：**对于这种把电压作为IO的系统，应该把电流关系作为突破，利用电路分压原理建立方程。

**关键点：**将所有元器件表示为复阻抗形式

时域微分方程拉氏变换法
- 建立系统时域微分方程模型
- 对微分方程两端求拉氏变换
- 分离C(s)和R(s)，两者相比

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