不定积分、定积分的区别与联系

前言：作者在学习微积分时曾对不定积分与定积分产生过许多疑惑，因此在思考总结过后，把自己理解的知识内容分享给大家。

第一：概念

1 不定积分（即反导数）是一种运算，类比于求导运算，求导是求函数的导函数，而导函数具有唯一性；反求导是求函数的原函数，由于运算的特性，求出来的原函数是一个函数族。

2 定积分是一种求和运算，它的原本方法是划分区间，来求各区间面积和的极限，所以这是个运用极限思想的求和运算。但是函数的横坐标乘上纵坐标的无限相加的极限值，也就是函数与X轴围成的面积，这个面积关于X坐标的函数是函数族（即原函数）中的一种函数。

第二：区别

不定积分（即反导数）与定积分就是两种不同的运算，也可以认为是两种不同的工具（一个是求导逆运算的工具，一个是求给定函数在有限区间里与X轴围成图形的面积的定值）。

两者的出发点不同，前者是为了求处具有普遍意义的函数，而后者是为了求一个具体函数在具体区间的具体面积。

第三：联系

产生联系的地方就在于求定积分可以用极限运算来求，也可以用【x,y】上对应的原函数来求面积，表达式为F(y)-F(x)（函数族中的C常数被相减丢去）。

拓展介绍——

从历史上来看，定积分是比不定积分出现得早的，因为早期的时候需要求各种各样的面积和体积，定积分显然比不定积分更有生活应用中的意义。而不定积分是在定积分产生后才发展的。而不定积分是后来者，在前面知识的基础上，成为了一种总结。

所以不定积分即求原函数的应用可以应用在求定积分上。

题外话：不定积分的“不定”我认为不是积分区间的不定，而是翻译的人那个时候没意识到这个不定会被很多人误解。“不定”应该是求导逆运算求出来的原函数是一个函数族，常数C则是产生函数族的原因，使得反导数出现多种情况，即“不定”情况；而不定积分中的“积分”不是表明这个运算是求积分的，是因为最先出来的求面积的定积分实质上也就是在求原函数的，所以“不定积分”我觉得可以理解为求C常数不固定的原函数的求导逆运算。

其实，出现不定积分与定积分的认识误差除了这名字的误导，还有我们对导函数和原函数的产生没有实质的认识。如果你知道求导函数和求原函数和求定积分都是基于极限的，并且知道原函数和导函数的真正产生过程和微积分的历史发展背景，我相信不定积分和定积分的区别与联系，你将不会再有苦恼。

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