1 时间序列与随机过程

随机变量序列Y t :t=0,±1,±2,±3,... {Y_t:t=0,\pm1,\pm2,\pm3,...}称为一个随机过程，并以之作为观测时间序列的模型。

2 均值、方差和协方差

对随机过程Y t :t=0,±1,±2,±3,... {Y_t:t=0,\pm1,\pm2,\pm3,...}，均值函数定义如下：
μ t =E(Y t ),t=0,±1,±2,... \mu_t=E(Y_t),t=0,\pm1,\pm2,...
即μ t  \mu_t恰是过程在t t时刻的期望值。
自协方差函数γ t,s  \gamma_{t,s}定义如下：
γ t,s =Cov(Y t ,Y s ),t,s=0,±1,±2,.. \gamma_{t,s}=Cov(Y_t,Y_s),t,s=0,\pm1,\pm2,..
其中Cov(Y t ,Y s )=E[(Y t −μ t )(Y s −μ s )] Cov(Y_t,Y_s)=E[(Y_t-\mu_t)(Y_s-\mu_s)]
自相关函数ρ t,s  \rho_{t,s}定义如下：
ρ t,s =Corr(Y t ,Y s ),t,s=0,±1,±2,.. \rho_{t,s}=Corr(Y_t,Y_s),t,s=0,\pm1,\pm2,..
其中：Corr(Y t ,Y s )=Cov(Y t ,Y s )Var(Y t )Var(Y s ) − − − − − − − − − − − − −  √   Corr(Y_t,Y_s)=\dfrac{Cov(Y_t,Y_s)}{\sqrt{Var(Y_t)Var(Y_s)}}

1 随机游动

令e 1 ,e 2 ,... e_1,e_2,...为均值为0，方差是σ ι 2 {\sigma_\iota}^2的独立同分布的随机变量序列，观测时间序列Y t :t=1,2,... Y_t:t=1,2,...构造如下：
Y t =Y t−1 +e t Y_t=Y_{t-1}+e_t,初始条件为Y 1 =e 1 Y_1=e_1
注：随着时间推移，均值不变，方差随着时间线性增长，相邻时点上Y值的正相关程度越来越强。

2 滑动平均

假设构造Y t  {Y_t}如下：
Y t =e t +e t−1 2  Y_t=\dfrac{e_t+e_{t-1}}{2}
可证明对所有的t t,都有ρ t,t−k  \rho_{t,t-k}相等。进而引出平稳性概念。

3 平稳性

1 平稳性

平稳性的基本思想：决定过程特性的统计规律不随时间的变化而变化。从一定意义上说，过程位于统计的平衡点上。
如果对一切时滞k k和时点t 1 ,t 2 ,...,t n  t_1,t_2,...,t_n都有Y t 1  ,Y t 2  ,...,Y t n   Y_{t_1},Y_{t_2},...,Y_{t_n}与Y t 1−k  ,Y t 2−k  ,...,Y t n−k   Y_{t_{1-k}},Y_{t_{2-k}},...,Y_{t_{n-k}}的联合分布相同，则程过程Y t  {Y_t}为严平稳的。
一个随机过程Y t  {Y_t}称为弱（二阶矩）平稳的条件是：
1. 均值函数在所有时间上恒为常数
2. γ t,t−k =γ t0,k  \gamma_{t,t-k}=\gamma_{t0,k},对所有的时间t t和滞后k k

2 白噪声

定义为独立同分布的随机变量序列e t {e_t}，是严平稳的。
假设白噪声过程具有0均值，且记方差为σ ι 2 {\sigma_\iota}^2

3 随机余弦波

定义一个过程：
Y t =cos[2π(t12 +Θ)]t=0,±1,±2,... Y_t=cos[2\pi(\dfrac{t}{12}+\Theta)]\quad\quad{t=0,\pm1,\pm2,...}
其中的Θ \Theta(一次性)选自区间0到1上的均匀分布
根据均值和方差，可证明该过程也是平稳的。
综上：对于给定时间序列，仅基于观测数据的时间序列图难以评估平稳性是否为一个合理假设。

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