时间序列与R语言应用(part1)--时间序列基本概念
学习笔记
参考书目:《计量经济学》、《计量经济学模型及R语言应用》、《时间序列分析及应用R语言》
时间序列分析之基本概念
时间序列的含义
从统计上来说,时间序列就是将某一个指标在不同时间上的不同数值,按照时间的先后顺序排列而成的序列。
从数学意义上讲,设X(t)(t∈T)X(t)(t\in T)X(t)(t∈T)是一个随机过程,Xi(i=1,2,...,n)X_{i}(i=1,2,...,n)Xi(i=1,2,...,n)是在时刻iii对过程X(t)X(t)X(t)的观测值,则Xi(i=1,2,...,n)X_{i}(i=1,2,...,n)Xi(i=1,2,...,n)称为一次样本实现,也就是一个时间序列。
从系统意义上来说,时间序列就是某一系统在不同时间(地点、条件等)的响应。这个定义不仅指出时间序列是按照一定顺序排列而成的,而且这里的一定顺序不一定是指时间顺序,也可以是具有各种不同意义的物理量。
时间序列的分类
- 按研究对象的多少分类:单变量时间序列和多变量时间序列。
多变量时间序列不仅描述了各个变量的变化规律,而且揭示了各变量间的相互依存关系的动态规律性。
按时间的连续性分类:离散时间序列和连续时间序列
按序列的统计特性分类:平稳时间序列和非平稳时间序列
随机过程是否具有平稳性对于时间序列预测十分重要,这一性质保证了随机过程的结构不会随着时间变化,这是准确预测的必要条件。
- 按时间序列的分布规律分类:高斯时间序列和非高斯时间序列
服从高斯分布的时间序列叫高斯时间序列,否则为非高斯时间序列。对于某些非高斯时间序列,往往可以经过适当变换,近似看成高斯时间序列。
平稳和非平稳
- 平稳随机过程
假设某一时间序列是由某个随机过程生成的,即假定时间序列Xt(t=1,2,...,n)X_{t}(t=1,2,...,n)Xt(t=1,2,...,n)的每个数值都是从一个概率分布中随机得到的,如果XtX_{t}Xt满足下列条件:
①均值E(Xt)=μE(X_{t})=\muE(Xt)=μ,均值是与时间ttt无关的常数
②方差Var(Xt)=σ2Var(X_{t})=\sigma^2Var(Xt)=σ2,方差是与时间ttt无关的常数
③协方差Cov(Xt,Xt+k)=γkCov(X_{t},X_{t+k})=\gamma_kCov(Xt,Xt+k)=γk,协方差只与时间间隔kkk有关.
则称该随机时间序列是款平稳的,该随机过程是一个平稳随机过程。
- 白噪声
举个平稳时间序列的例子:白噪声
最简单的随机时间序列XtX_{t}Xt是一个具有零均值同方差的独立分布序列:
Xt=μt,μt∼N(0,σ2)X_{t}=\mu_{t}, \quad \mu_{t} \sim N(0, \sigma^2) Xt=μt,μt∼N(0,σ2)
则该序列常被称为是一个白噪声。
- 随机游走
举一个非平稳时间序列的例子:随机游走
有如下随机过程生成:
Xt=Xt−1+μtX_{t}=X_{t-1}+\mu_{t} Xt=Xt−1+μt
这里μt\mu_tμt是一个白噪声。
容易知道,该序列有相同的均值E(Xt)=E(Xt−1)E(X_{t})=E(X_{t-1})E(Xt)=E(Xt−1).为了检验该序列是否具有相同的方差,可假设XtX_{t}Xt的初值为X0X_{0}X0,则易知:
X1=X0+μ1X2=X1+μ2=X0+μ1+μ2Xt=X0+μ1+μ2+...+μtX_{1}=X_{0}+\mu_{1} \\X_{2}=X_{1}+\mu_{2} = X_{0}+\mu_{1}+\mu_{2} \\X_{t}=X_{0}+\mu_{1}+\mu_{2}+...+\mu_{t} X1=X0+μ1X2=X1+μ2=X0+μ1+μ2Xt=X0+μ1+μ2+...+μt
设初值X0X_{0}X0为常数,μt\mu_{t}μt是白噪声,则Var(Xt)=tσ2Var(X_{t})=t\sigma^2Var(Xt)=tσ2,即XtX_{t}Xt的方差与时间ttt有关而非常数,故他是非平稳时间序列。
- 图示
给出一个随机时间序列,首先可通过该序列的时序图来粗略地判断它是否是平稳的。平稳时间序列在图形上往往表现出种围绕其均值不断波动的过程,而非平稳时间序列往往表现出在不同的时间段具有不同的均值(如持续上升或持续下降)
时间序列的自相关性
自相关函数ACF
自相关函数是衡量序列yty_tyt中任意两个元素之间相关程度的度量。对于随机过程{yty_tyt},元素yty_tyt与yt+ky_{t+k}yt+k之间的自相关函数定义如下:
ρk=cov(yt,yt+k)var(yt)var(yt+k)\rho_k=\frac{cov(y_t,y_{t+k})}{\sqrt{var(y_t)var(y_{t+k})}} ρk=var(yt)var(yt+k)cov(yt,yt+k)
自相关系数ρk\rho_kρk的序列{ρk\rho_kρk}(k=0,±1,±2,...k=0,\pm1, \pm2, ...k=0,±1,±2,...),称为自相关函数(ACF)
当yty_tyt为平稳随机过程时:
ρk=γkγ0=cov(yt,yt+k)var(yt)\rho_k=\frac{\gamma_k}{\gamma_0}=\frac{cov(y_t,y_{t+k})}{var(y_t)} ρk=γ0γk=var(yt)cov(yt,yt+k)
由定义知,对任意随机过程ρ0=1\rho_0=1ρ0=1,由公式可知,ρk\rho_kρk是一个无量纲量。γk\gamma_kγk是时间序列滞后kkk期的协方差,γ0\gamma_0γ0为方差,因此自相关函数是关于滞后期kkk的递减函数。
在实际计算中,我们只能计算样本自相关函数,其样本自相关函数定义为:
ρk^=∑i=1n−k(yt−y‾)(yy+k−y‾)∑i=1n(yt−y‾)2k=1,2,3...\hat{\rho_k}=\frac{\sum_{i=1}^{n-k}(y_t- {\overline{y}})(y_{y+k}- {\overline{y}}) }{\sum_{i=1}^{n}(y_t - {\overline{y}})^2}\quad k=1,2,3... ρk^=∑i=1n(yt−y)2∑i=1n−k(yt−y)(yy+k−y)k=1,2,3...
- 图示
随着kkk的增加,样本自相关函数下降且趋于0.但从下降速度来看,平稳序列要比非平稳序列快得多。
自相关性判别
- 图示法
时间序列模型着重研究的是样本关系,因此自相关函数在样本中占有重要地位。
我们可以绘制滞后q期(Yt−qY_{t-q}Yt−q)与当期(YtY_{t}Yt)的散点图,来判断是否存在自相关性。
也可以绘制acf图来判断时间序列数据的自相关性情况。值得注意的是,若存在yty_tyt与yt+ky_{t+k}yt+k之间的样本自相关函数ρk^\hat{\rho_k}ρk^,满足|ρk^\hat{\rho_k}ρk^|<1.96n\frac{1.96}{\sqrt{n}}n1.96,我们就有95%的把握判断原时间序列不存在k阶自相关。阈值1.96n\frac{1.96}{\sqrt{n}}n1.96,在acf图中应该会以虚线标出。
- 假设检验
①Box-Pierce检验
伯克斯和皮尔斯提出的Q统计量,可以检验时间序列的相关性,Q统计量定义为:
Q=n∑k=1mρk^2∼χ2(m)Q=n{\sum_{k=1}^{m}\hat{\rho_k}^2}\sim\chi^2(m) Q=nk=1∑mρk^2∼χ2(m)
其中,样本量为你,m为滞后长度。在大样本情况下,它近似服从自由度为m的χ2\chi^2χ2分布。若计算出的Q值大于一定显著性水平下χ2\chi^2χ2分布的临界值,则拒绝所有ρk\rho_kρk同时为0的原假设,则序列存在自相关性。
②Ljung-Box检验
巴特雷特曾证明,如果时间序列由白噪声过程生成,则对所有的k>0k>0k>0,样本自相关系数近似地服从均值为0、方差为1/n的正态分布,其中n为样本量。也可检验对所有的k>0k>0k>0,自相关系数都为0的联合假设,这可通过如下QLBQ_{LB}QLB统计量进行:
QLB=n(n+2)∑k=1mρk^2n−k∼χ2(m)Q_{LB}=n(n+2)\sum_{k=1}^{m}\frac{\hat{\rho_k}^2}{n-k}\sim\chi^2(m) QLB=n(n+2)k=1∑mn−kρk^2∼χ2(m)
该统计量近似地服从自由度为m的χ2\chi^2χ2分布.因此,如果计算的Q值大于显著性水平α\alphaα的临界值,则有1−α1-\alpha1−α的把握拒绝所有ρk(k>0)\rho_k(k>0)ρk(k>0)同时为0的假设。
QLBQ_{LB}QLB统计量比Q统计量有更好的小样本性(也就是在统计意义上更有效),所以QLBQ_{LB}QLB统计量常用来检验小样本的序列相关性。
R语言实现
绘制滞后一期与当期散点图:
library(TSA)y <- c(55,52,42,32,37,36,57,66,66,62,45,77,78,60,65)plot(y, x = zlag(y, 1), xlab = expression(Y[t-1]), ylab = expression(Y[t]), type = 'p', main = '滞后一期与当期的散点图')
图像:
由上图可以看出yty_tyt与yt−1y_{t-1}yt−1貌似有那么点相关性。
绘制acf图:
acf(y, main = '自相关图')
图像:
可以看到一阶自相关系数显著,则可能存在一阶自相关性。
计算自相关系数:
acf(y)$ac
控制台输出:
[,1][1,] 0.56735082[2,] 0.25659445[3,] 0.11299886[4,] -0.04724439[5,] 0.02717598[6,] -0.12748005[7,] -0.20916002[8,] -0.30212847[9,] -0.36191562
[10,] -0.22478145
[11,] -0.12675789
Ljung-Box检验:
Box.test(y, type = 'Ljung-Box')
控制台输出:
Box-Ljung testdata: y
X-squared = 5.8629, df = 1, p-value = 0.01546
可以看到p值小于0.05的显著性水平,则拒绝原假设,序列存在自相关性。
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