正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P7294

题目大意

n×mn\times mn×m的网格，当你在(x,y)(x,y)(x,y)时你有两种选择

花费x2x^2x2的代价向右移动
花费cyc_ycy的代价向下移动

qqq次询问(1,1)(1,1)(1,1)走到(x,y)(x,y)(x,y)的最小代价。

1≤n≤109,1≤m,q≤2×1051\leq n\leq 10^9,1\leq m,q\leq 2\times 10^51≤n≤109,1≤m,q≤2×105

解题思路

假设我们开始都是直接走最上面向右的路（也就是代价都是121^212）。

然后考虑在某个位置(x,y)(x,y)(x,y)要走到(n,m)(n,m)(n,m)时向下走会产生的贡献为cy+(m−y)×(2x+1)c_y+(m-y)\times (2x+1)cy+(m−y)×(2x+1)（后面要抬m−ym-ym−y个横着走，然后从x2x^2x2到(x+1)2(x+1)^2(x+1)2要到加2x+12x+12x+1）。

然后拆一下就是cy+m−y+2xm−2xyc_y+m-y+2xm-2xycy+m−y+2xm−2xy。发现斜率−2y-2y−2y是按照yyy递增递减的，而且我们要求选出的若干个cyc_ycy的yyy一定要递增，但是这样的话我们选出来的一定是递增的所以我们只需要考虑对于每个xxx选择一个yyy使得最小化cy+(m−y)×(2x+1)c_y+(m-y)\times (2x+1)cy+(m−y)×(2x+1)。

按照询问排序，一个一个加入新的cyc_ycy，按照斜率维护一个上凸壳，然后在凸壳上面二分就好了。

时间复杂度O(m+qlog⁡m)O(m+q\log m)O(m+qlogm)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2e5+10;
struct node{ll n,m,id;
}q[N];
ll n,m,t,top,b[N],k[N],s[N],sum[N],l[N],r[N],ans[N];
ll calc(ll i,ll j)//i<j
{return (b[j]-b[i]+k[i]-k[j]-1)/(k[i]-k[j]);}
ll cap(ll i,ll j){ll x=calc(i,j);if(x<=l[i])return 1;return 0;
}
ll getf(ll x,ll l,ll r)
{return (r+l)*(r-l+1)/2*k[x]+b[x]*(r-l+1);}
bool cmp(node x,node y)
{return x.m<y.m;}
signed main()
{//  freopen("data.in","r",stdin);
//  freopen("data.out","w",stdout);scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll i=1;i<=m;i++){scanf("%lld",&b[i]);b[i]=b[i]-i;k[i]=2*(-i);}scanf("%lld",&t);for(ll i=1;i<=t;i++){scanf("%lld%lld",&q[i].n,&q[i].m);q[i].id=i;}sort(q+1,q+1+t,cmp);for(ll i=1,z=1;i<=m;i++){r[i]=n;while(top>0&&cap(s[top],i))top--;if(top)l[i]=max(calc(s[top],i),1ll);else l[i]=1;if(l[i]<=r[i]){r[s[top]]=l[i]-1;s[++top]=i;sum[top-1]=((top>1)?sum[top-2]:0)+getf(s[top-1],l[s[top-1]],r[s[top-1]]);sum[top]=sum[top-1]+getf(i,l[i],r[i]);}   while(z<=t&&q[z].m<=i){ll qn=q[z].n-1,L=1,R=top;while(L<=R){ll mid=(L+R)>>1;if(r[s[mid]]<qn)L=mid+1;else R=mid-1;}ans[q[z].id]=sum[L-1]+getf(s[L],l[s[L]],qn)+(qn+1)*qn*i+i*qn+i-1;z++;}}for(ll i=1;i<=t;i++)printf("%lld\n",ans[i]);return 0;
}

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