1 简介
2 引入的目的
3 简单例子引入Topsis法
- 3.1 问题-单个指标
- - （1）解决的思路（最简单的）
  - （2）改进思路
  - （3）解释构造评分公式
- 3.2 拓展问题-增加指标个数
- - （1）问题
  - （2）指标正向化
  - （3）标准化处理
  - （4）计算每个对象的综合得分
4 算法步骤
- 4.1 第一步-将原始矩阵正向化
- 4.2 第二步-正向化矩阵标准化
6 例题
- 6.1 题目
- 6.2 代码实现
- - Topsis.m
  - Positivization.m
  - Min2Max.m
  - Mid2Max.m
  - Inter2Max.m
7 源码和数据下载

1 简介

Topsis法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal solution）可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法
Topsis法是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能够精确的反映评价方案之间的差距。

基本过程
为先将原始数据矩阵统一指标类型（一般正向化处理）得到正向化的矩阵，再对正向化的矩阵进行标准化处理以消除各指标量纲的影响，并找到有限方案中的最优方案和最劣方案，然后分别计算各评价对象与最优方案和最劣方案间的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。该方法对数据分布及样本含量没有严格限制，数据计算简单易行。

2 引入的目的

因为层次分析法有局限

3 简单例子引入Topsis法

3.1 问题-单个指标

小明同宿舍共有四名同学，他们第一个学习的高数成绩如下表所示。请你为四名同学进行评分，该评分能合理的描述其高数成绩的高低。

（1）解决的思路（最简单的）

修正排名，原先的排名是越小越优秀，现在修改成排名越大越优秀。

但是这种方法有不合理之处：可以随便修改成绩，只要保证排名不变，那么评分就不会改变。如下图。成绩变了，但是排名没有变化。所以这种方式没有反映出元素的所有相关信息。

（2）改进思路

改变构造评分的方式，利用如图所示的公式。

（3）解释构造评分公式

对为什么使用上面的公式去构造评分作出解释

3.2 拓展问题-增加指标个数

（1）问题

现在增加一个指标，现在要综合评价四位同学，并为他们进行评价

（2）指标正向化

显然两个指标是相反的指示。那选择一种方法让其指标大小指示一样的程度。就需要统一指标类型，方法叫指标正向化。

（3）标准化处理

为了消除不同指标量纲的影响，需要对已经正向化的矩阵进行标准化处理。不同指标量纲是指如下图中的成绩单位是分，超级次数单位是1，那不能一块求和。所以为了能让两个指标想加，需要进行对指标数据进行标准化处理。

数学符号来表示标准化（可写进论文）

以上的公式表示，每一项元素除以把这一列所有元素平方后求和。其实原理类似求各这一列的占比，但并不是求占比的公式啊。不理解的看看旁边代码，更能明白。

（4）计算每个对象的综合得分

根据以上标准化后，得到这样的指标表

需要把两个指标的数值相加后，利用以下公式去计算每个人的得分。

n个人，m个指标计算得分的数学符号表示（可写进论文）

计算过程如下

（5）归一化得分
归一化得分后，根据得分大小就可以得到最终多个指标的排名大小了。

4 算法步骤

4.1 第一步-将原始矩阵正向化

（1）极小型转化为极大型

（2）中间型转化为极大型

（3）区间型转化为极大型

4.2 第二步-正向化矩阵标准化

4.3 第三步-计算得分归一化

5 模型拓展
如果每个指标，对应每个对象的权重不一样，那计算指标得分的公式需要有一个权重表示 ω\omegaω j
计算指标得分的公式如下

那这个Topsis就叫带权重Topsis。那这个权重的确定，可以通过层次分析法来确定。

6 例题

6.1 题目

含氧量是一个极大型，PH是一个中间型。细菌总数是极小型。植物性营养物量是一个区间型

6.2 代码实现

Topsis.m

%%  第一步：把数据复制到工作区，并将这个矩阵命名为X
% （1）在工作区右键，点击新建（Ctrl+N)，输入变量名称为X
% （2）在Excel中复制数据，再回到Excel中右键，点击粘贴Excel数据（Ctrl+Shift+V）
% （3）关掉这个窗口，点击X变量，右键另存为，保存为mat文件（下次就不用复制粘贴了，只需使用load命令即可加载数据）
% （4）注意，代码和数据要放在同一个目录下哦，且Matlab的当前文件夹也要是这个目录。
clear;clc
load data_water_quality.mat
%% 注意：如果提示: 错误使用 load，无法读取文件 'data_water_quality.mat'。没有此类文件或目录。
% 那么原因是因为你的Matlab的当前文件夹中不存在这个文件
% 可以使用cd函数修改Matlab的当前文件夹
% 比如说，我的代码和数据放在了: D:第2讲.TOPSIS法（优劣解距离法）\代码和例题数据
% 那么我就可以输入命令：
% cd 'D:第2讲.TOPSIS法（优劣解距离法）\代码和例题数据'
% 也可以看我更新的视频：“更新9_Topsis代码为什么运行失败_得分结果怎么可视化以及权重的确定如何更加准确”，里面有介绍
%%  第二步：判断是否需要正向化
[n,m] = size(X);
disp(['共有' num2str(n) '个评价对象, ' num2str(m) '个评价指标'])
Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要经过正向化处理，需要请输入1 ，不需要输入0：  ']);
if Judge == 1Position = input('请输入需要正向化处理的指标所在的列，例如第2、3、6三列需要处理，那么你需要输入[2,3,6]： '); %[2,3,4]disp('请输入需要处理的这些列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型） ')Type = input('例如：第2列是极小型，第3列是区间型，第6列是中间型，就输入[1,3,2]：  '); %[2,1,3]% 注意，Position和Type是两个同维度的行向量for i = 1 : size(Position,2)  %这里需要对这些列分别处理，因此我们需要知道一共要处理的次数，即循环的次数X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));% Positivization是我们自己定义的函数，其作用是进行正向化，其一共接收三个参数% 第一个参数是要正向化处理的那一列向量 X(:,Position(i))   回顾上一讲的知识，X(:,n)表示取第n列的全部元素% 第二个参数是对应的这一列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）% 第三个参数是告诉函数我们正在处理的是原始矩阵中的哪一列% 该函数有一个返回值，它返回正向化之后的指标，我们可以将其直接赋值给我们原始要处理的那一列向量enddisp('正向化后的矩阵 X =  ')disp(X)
end
%% 第三步：对正向化后的矩阵进行标准化
Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);
disp('标准化矩阵 Z = ')
disp(Z)
%% 第四步：计算与最大值的距离和最小值的距离，并算出得分
D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5;   % D+ 与最大值的距离向量
D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5;   % D- 与最小值的距离向量
S = D_N ./ (D_P+D_N);    % 未归一化的得分
disp('最后的得分为：')
stand_S = S / sum(S)
[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend')
% A = magic(5)  % 幻方矩阵
% M = magic(n)返回由1到n^2的整数构成并且总行数和总列数相等的n×n矩阵。阶次n必须为大于或等于3的标量。
% sort(A)若A是向量不管是列还是行向量，默认都是对A进行升序排列。sort(A)是默认的升序，而sort(A,'descend')是降序排序。
% sort(A)若A是矩阵，默认对A的各列进行升序排列
% sort(A,dim)
% dim=1时等效sort(A)
% dim=2时表示对A中的各行元素升序排列
% A = [2,1,3,8]
% Matlab中给一维向量排序是使用sort函数：sort（A），排序是按升序进行的，其中A为待排序的向量；
% 若欲保留排列前的索引，则可用 [sA,index] = sort(A,'descend') ，排序后，sA是排序好的向量，index是向量sA中对A的索引。
% sA  =  8     3     2     1
% index =  4     3     1     2

Positivization.m

% function [输出变量] = 函数名称(输入变量）
% 函数的中间部分都是函数体
% 函数的最后要用end结尾
% 输出变量和输入变量可以有多个，用逗号隔开
% function [a,b,c]=test(d,e,f)
%     a=d+e;
%     b=e+f;
%     c=f+d;
% end
% 自定义的函数要单独放在一个m文件中，不可以直接放在主函数里面（和其他大多数语言不同）
function [posit_x] = Positivization(x,type,i)
% 输入变量有三个：
% x：需要正向化处理的指标对应的原始列向量
% type： 指标的类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）
% i: 正在处理的是原始矩阵中的哪一列
% 输出变量posit_x表示：正向化后的列向量if type == 1  %极小型disp(['第' num2str(i) '列是极小型，正在正向化'] )posit_x = Min2Max(x);  %调用Min2Max函数来正向化disp(['第' num2str(i) '列极小型正向化处理完成'] )disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')elseif type == 2  %中间型disp(['第' num2str(i) '列是中间型'] )best = input('请输入最佳的那一个值： ');posit_x = Mid2Max(x,best);disp(['第' num2str(i) '列中间型正向化处理完成'] )disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')elseif type == 3  %区间型disp(['第' num2str(i) '列是区间型'] )a = input('请输入区间的下界： ');b = input('请输入区间的上界： '); posit_x = Inter2Max(x,a,b);disp(['第' num2str(i) '列区间型正向化处理完成'] )disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')elsedisp('没有这种类型的指标，请检查Type向量中是否有除了1、2、3之外的其他值')end
end
% % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
% % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭

Min2Max.m

function [posit_x] = Min2Max(x)posit_x = max(x) - x;%posit_x = 1 ./ x;    %如果x全部都大于0，也可以这样正向化
end

Mid2Max.m

function [posit_x] = Mid2Max(x,best)M = max(abs(x-best));posit_x = 1 - abs(x-best) / M;
end

Inter2Max.m

function [posit_x] = Inter2Max(x,a,b)r_x = size(x,1);  % row of x M = max([a-min(x),max(x)-b]);posit_x = zeros(r_x,1);   %zeros函数用法: zeros(3)  zeros(3,1)  ones(3)% 初始化posit_x全为0  初始化的目的是节省处理时间for i = 1: r_xif x(i) < aposit_x(i) = 1-(a-x(i))/M;elseif x(i) > bposit_x(i) = 1-(x(i)-b)/M;elseposit_x(i) = 1;endend
end

7 源码和数据下载

TOPSIS法（优劣解距离法）例子源码和拓展资料

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