前言

本文将介绍矩阵乘法及其本质。

教材里的矩阵乘法

矩阵A∈Rm×n,B∈Rn×lA\in R^{m\times n}, B \in R^{n\times l}A∈Rm×n,B∈Rn×l，则定义矩阵乘法ABABAB为：

AB=C∈Rm×lCij=∑k=1naikbkjAB=C\in R^{m\times l} \\ C_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj} AB=C∈Rm×lCij=k=1∑naikbkj
以上定义看着就很复杂，理解起来就是左边矩阵的第 i 行的元素乘以右边矩阵第 j 列的对应元素，也就是所谓的“十字”乘法。

这样的定义，满足做题的需求，但对于理解矩阵乘法的本质，没有任何作用。

矩阵与向量的乘法

考虑矩阵与列向量的乘法：
Ax=b将A看作列向量的横向排列：A=(a⃗1,a⃗2,…,a⃗n)(a⃗1,a⃗2,…,a⃗n)x=x1a⃗1+x2a⃗2+⋯+xna⃗n实际上，x1a⃗1+x2a⃗2+⋯+xna⃗n就是矩阵A的列向量的线性组合Ax=b \\ \quad \\ 将A看作列向量的横向排列： \\ \quad \\ A = (\vec a_1, \vec a_2, \dots, \vec a_n) \\ (\vec a_1, \vec a_2, \dots, \vec a_n)x=x_1\vec a_1+x_2\vec a_2+\dots+ x_n\vec a_n \\ \quad \\ 实际上，x_1\vec a_1+x_2\vec a_2+\dots+ x_n\vec a_n就是矩阵A的列向量的线性组合 Ax=b将A看作列向量的横向排列：A=(a1,a2,…,an)(a1,a2,…,an)x=x1a1+x2a2+⋯+xnan实际上，x1a1+x2a2+⋯+xnan就是矩阵A的列向量的线性组合
由以上过程，我们就可以把矩阵与列向量的乘积Ax=bAx=bAx=b，定义为矩阵的列的线性组合，线性组合的系数就是列向量的每个元素。并且结果是矩阵列的线性组合，那么列向量维数的肯定不变。

同理，行向量与矩阵 xTA=bTx^TA=b^TxTA=bT的乘积，就是矩阵行的线性组合。

矩阵之间的乘法

现在来考虑矩阵的乘法：
AX=B将X都看作列向量的横向排列X=(x⃗1,x⃗2,…,x⃗n)AX=A(x⃗1,x⃗2,…,x⃗n)=(Ax⃗1,Ax⃗2,…,Ax⃗n)于是，矩阵乘积就变成了矩阵与列向量乘积的横向排列AX=B \\ \quad \\ 将X都看作列向量的横向排列 \\ \quad \\ X = (\vec x_1, \vec x_2, \dots, \vec x_n) \\ AX=A(\vec x_1, \vec x_2, \dots, \vec x_n)=(A\vec x_1, A\vec x_2, \dots, A\vec x_n) \\ \quad \\ 于是，矩阵乘积就变成了矩阵与列向量乘积的横向排列 \\ AX=B将X都看作列向量的横向排列X=(x1,x2,…,xn)AX=A(x1,x2,…,xn)=(Ax1,Ax2,…,Axn)于是，矩阵乘积就变成了矩阵与列向量乘积的横向排列
因此，我们就可以把矩阵乘法AX=BAX=BAX=B，定义为矩阵列的不同线性组合的横向排列。既然结果是列的线性组合的横向排列，那么结果的排列个数肯定与XXX的横向排列个数相同。

扩展1：方阵与向量的乘法与线性相关性

对于矩阵和列向量的乘法：
对于线性齐次方程组，有Ax=0∈Rn对于线性齐次方程组，有\\ \quad \\ Ax=0\in R^n 对于线性齐次方程组，有Ax=0∈Rn
我们知道零向量是矩阵列的线性组合，那么如果矩阵的列向量是线性相关的，就存在非零向量xxx使方程有解 ，如果矩阵的列是线性无关的，方程的解就只有零向量。

扩展2：方阵间的乘法与秩

对于方阵之间的乘法：
AB=E∈Rn×nAB=E\in R^{n\times n} AB=E∈Rn×n
我们知道单位矩阵EEE是AAA的列的线性组合的排列，也就是说AAA的列组合可以表示EEE的每个列，那么必然有n≥r(A)≥r(E)=nn\ge r(A)\ge r(E)=nn≥r(A)≥r(E)=n，则r(A)=nr(A)=nr(A)=n。

延伸到向量空间，就能够得到更加本质的结论。

后记

本篇实际上是把矩阵乘法归纳为向量的线性组合。下篇将记录向量空间。

线性代数之矩阵乘法的本质相关推荐

5分钟搞懂矩阵乘法的本质
大家好啊,我是董董灿. 很多与深度学习算法相关的面试,面试官可能都会问一类问题,那就是你是如何理解矩阵乘算法的. 更有甚者,会让你当场手写矩阵乘算法,然后问细节,问如何优化,面试现场,残忍至极. 那矩 ...
矩阵乘法的本质（线性空间篇，知乎：马同学）
首先矩阵的乘法,本质是一种运动(????知乎的评论里更正了是变换,运动是过程) 1.线性空间 1.1概念在一片混沌的空白空间,假装自己不知道坐标系的概念(???) 随便选个点作为原点,以此原点做两个 ...
矩阵乘法算法训练试题_线性代数入门——矩阵乘法的定义及其意义
系列简介:这个系列文章讲解线性代数的基础内容,注重学习方法的培养.线性代数课程的一个重要特点(也是难点)是概念众多,而且各概念间有着千丝万缕的联系,对于初学者不易理解的问题我们会不惜笔墨加以解释.在内 ...
矩阵乘法的本质是什么
作者:知乎用户链接:https://www.zhihu.com/question/21351965/answer/31050145 本题目前下面的解释都是线性代数教材上的各种定义,但都太过复杂了.我 ...
线性代数几何意义-矩阵乘法、行列式
前言想写这个东西是因为看了3b1b的线性代数的本质,且学校之前教的线代就是歌姬吧,只会算数,不理解其含义,于是就想写点总结,方便自己复习,如果对这个内容感兴趣,还请看看完整的视频教程,这个博客可能会 ...
【线性代数本质】4：矩阵乘法本质
文章目录一:矩阵乘法二:其它问题 (1)矩阵为什么不可以交换? (2)矩阵为什么满足结合律? 一:矩阵乘法前面所讲的几节内容中涉及的变换都是单一的变换,那么如果你想描述多种连续的变换呢,或者称为 ...
程序性能优化探讨（6）——矩阵乘法优化之分块矩阵
有一种性格叫做偏执,有一种矩阵优化运算叫做分块.实话说,也许我这辈子也用不上这种随牛B但很复杂的算法,有些版本的教材直接删除这个内容.但越是这样我越想不过,因此借写这篇博客,把分块矩阵乘法彻底分析清楚 ...
线性代数【15】复合线性变换-矩阵乘法和三维变换
前言:本节将上节的线性变换的概念综合起来. 上节我们知道,矩阵可以认为是一组基础列向量的集,也就定义了一个线性变换的形式.而将这个矩阵和另外一个向量相乘,就得到了这个被相乘向量的,基于这个线性变换形式 ...
线性代数知识点总结——矩阵乘法、矩阵运算与性质、矩阵微积分
线性代数知识点总结 1. 基础概念和符号 1.1 基本符号 2.矩阵乘法 2.1 向量-向量乘法 2.2 矩阵-向量乘法 2.3 矩阵-矩阵乘法 3 运算和属性 3.1 单位矩阵和对角矩阵 3.2 转 ...
线性代数矩阵乘法中的行向量和列向量
线性代数矩阵乘法中的行向量和列向量在矩阵中有两个概念,行向量与列向量,这是从两个不同的角度看待矩阵的组成.这篇文章将从行向量和列向量两个角度来分解矩阵的乘法. 假设有两个矩阵A和B 一般矩阵的乘法分 ...

线性代数之矩阵乘法的本质

线性代数之矩阵乘法的本质

前言

教材里的矩阵乘法

矩阵与向量的乘法

矩阵之间的乘法

扩展1：方阵与向量的乘法与线性相关性

扩展2：方阵间的乘法与秩

后记

线性代数之矩阵乘法的本质相关推荐

最新文章

热门文章

线性代数之 矩阵乘法的本质

线性代数之 矩阵乘法的本质

前言

教材里的矩阵乘法

矩阵与向量的乘法

矩阵之间的乘法

扩展1：方阵与向量的乘法与线性相关性

扩展2：方阵间的乘法与秩

后记

线性代数之 矩阵乘法的本质相关推荐

最新文章

热门文章

线性代数之矩阵乘法的本质

线性代数之矩阵乘法的本质

线性代数之矩阵乘法的本质相关推荐