一：矩阵乘法

前面所讲的几节内容中涉及的变换都是单一的变换，那么如果你想描述多种连续的变换呢，或者称为复合变换

比如下图，先将平面逆时针旋转90°，然后再进行剪切。这很明显是两个变换，但是从总体上看可以看作是一个复合变换，是旋转和剪切作用的总和

和其他变换一样，描述这种变换我们也可以通过记录变换后的ijijij来实现，矩阵表示为(1−110)\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}(11−10)。这一新的矩阵捕捉到了两个变换的总体效应，但它的确是一个单独的作用

按照我们前文所讲，如果让一个向量(xy)\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}(xy)乘以矩阵就会对其施加该矩阵所表示的线性变换，那么如果按照变换两次的角度来看，应该就是先乘以一个旋转矩阵，所得结果再乘以一个剪切矩阵
(1110)((0−110)(xy))\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}(\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix})(1110)((01−10)(xy))

如果从总体角度上看，那么上面矩阵的效果或者说结果，应该和复合变换所对应的矩阵是一致的
(1−110)(xy)\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}(11−10)(xy)

也即
(1110)((0−110)(xy))=(1−110)(xy)\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}(\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}(1110)((01−10)(xy))=(11−10)(xy)

约去等式相同部分，那么两者之积理应是相同的
(1110)(0−110)=(1−110)\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}(1110)(01−10)=(11−10)

这两个矩阵的作用是需要从右往左看的，如下，可以理解为先M1M_{1}M1后M2M_{2}M2，矩阵M2M_{2}M2=(1101)\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}(1011)作用于M1M_{1}M1的第一列得到(11)\begin{pmatrix} 1\\ 1\end{pmatrix}(11)，同样矩阵M2M_{2}M2=(1101)\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}(1011)作用于M1M_{1}M1的第二列得到(−10)\begin{pmatrix} -1\\ 0\end{pmatrix}(−10)

其实，在实际计算中我们不用这么算，因为有一种普适性的方法可以计算出结果矩阵，也即

(abcd)(efgh)=(ae+bgaf+bhce+dgcf+dh)\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix} e & f\\ g & h\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ae+bg & af+bh\\ ce+dg& cf+dh\end{pmatrix}(acbd)(egfh)=(ae+bgce+dgaf+bhcf+dh)

其实大家也能看到，这不就是我们熟知的矩阵乘法吗，但是我们的教育中太过重视怎么算的问题，但是怎么算根本就不是矩阵的本质的问题，它只是一种所谓的“技巧”，一种可以帮助你快速得到复合变换结果的计算方法，所以大家一定要明白矩阵乘法的本质，而不应该迷失在数字的世界中

二：其它问题

（1）矩阵为什么不可以交换？

我们都知道，矩阵是不满足交换律的，也即AB≠BAAB\neq BAAB=BA，那么为什么呢？在课本练习中，通常会采用代数运算的方法，通过上面的计算公式加以计算然后计算出它们不相等，其实这是根本没有必要的，因为这不是本质问题，这只是一种表示方式，没有说到问题的本质上

如果拿上面的例子，我们先左的是旋转再做的是剪切，对应的就是M2M1M_{2}M_{1}M2M1，那么最终效果如下

如果做左剪切，再做旋转，也即M1M2M_{1}M_{2}M1M2，最终效果如下

大家可以发现最终效果完全不一致了，也就说这根本不是一个变换，自然也就不可交换

（2）矩阵为什么满足结合律？

我们都知道，矩阵满足结合律，也即(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)，那么为什么呢？
这个其实就很明白了，因为在这种情况下无论你先计算AB然后再计算ABC，还是先计算BC然后再计算ABC，最终的变换效果是一致的，那么自然而然是满足结合律的。

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【线性代数本质】4：矩阵乘法本质

文章目录

一：矩阵乘法

二：其它问题

（1）矩阵为什么不可以交换？

（2）矩阵为什么满足结合律？

【线性代数本质】4：矩阵乘法本质相关推荐

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