因子分析 factor analysis (二 ) : 因子分析模型
因子分析系列博文:
因子分析 factor analysis (一 ):模型的理论推导
因子分析 factor analysis (二 ) : 因子分析模型
因子分析 factor analysis (三) : 因子载荷矩阵的估计方法
因子分析 factor analysis (四) : 因子旋转(正交变换)
因子分析 factor analysis (五) : 因子得分
因子分析 factor analysis (六) :用因子分析法进行综合评价
因子分析 factor analysis (七) :因子分析法与主成分分析的异同
目录
一 因子分析的原理
二 因子分析模型 2.1 数学模型 2.2 因子分析模型的性质
2.3 因子载荷矩阵中的几个统计性质
一 因子分析的原理
因子分析(factor analysis)是一种数据简化的技术。它通过研究众多变量之间的内部依赖关系,探求观测数据中的基本结构,并用少数几个假想变量来表示其基本的数据结构。这几个假想变量能够反映原来众多变量的主要信息。原始的变量是可观测的显 在变量,而假想变量是不可观测的潜在变量,称为因子。
因子分析与回归分析不同,因子分析中的因子是一个比较抽象的概念,而回归因子有非常明确的实际意义。
主成分分析分析与因子分析也有不同,主成分分析仅仅是变量变换,而因子分析需要构造因子模型。
主成分分析:原始变量的线性组合表示新的综合变量,即主成分。
因子分析:潜在的假想变量和随机影响变量的线性组合表示原始变量。
二 因子分析模型
2.1 数学模型
2.2 因子分析模型的性质
(1)原始变量 X 的协方差矩阵的分解
(2)载荷矩阵不是唯一的
设 T 为一个 的正交矩阵,令 ,则模型可以表示为
2.3 因子载荷矩阵中的几个统计性质
2.3.1 因子载荷 的统计意义
因子载荷 是第 个变量与第 个公共因子的相关系数,反映了第i个变量与第 j
个公共因子的相关重要性。绝对值越大,相关的密切程度越高。
2.3.2 变量共同度的统计意义
变量 的共同度是因子载荷矩阵的第i行的元素的平方和,记为
对(49)式两边求方差,得
可以看出所有的公共因子和特殊因子对变量 的贡献为1。如果 非常靠近1,非常小,则因子分析的效果好,从原变量空间到公共因子空间的转化效果好。
2.3.3 公共因子 方差贡献的统计意义
因子载荷矩阵中各列元素的平方和 称为 对所有的的方差贡献和,衡量的相对重要性。
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