计算机算法基础：分治法

基本思想：

为解决一个大问题：

分解成两个或多个更小的问题
分别解决每个小问题
把各小问题的解答组合起来，即可得到原问题的解
小问题通常与原问题相似或同质，因而可以递归地分治。

分治策略的抽象化控制

procedure DANDC(p,q)global n,A(1:n);integer m,p,q;//1<=p<=q<=nif SMALL(p,q)then return(G(p,q))elsem<-DIVIDE(p,q)//p<=m<=q     return(COMBINE(DANDC(p,m),DANDC(m+1,q)))endif
end DANDC

分析

k=2:二分是最常用的分解策略；
SMALL(p,q):布尔函数，判断输入规模q-p+1是否足够小而无需进一步分解
G(p,q):对输入规模为q-p+1的子问题求解
DIVIDE(p,q):对输入规模为q-p+1的i问题进一步分解，返回值为[p.q]区间进一步的分割点
COMBINE(x,y):子结果的合并函数，将区间[p,m]和[m+1,q]上的子问题的解合并成上级区间[p,q]上的较完整解。当p=1,q=n时，就得到整个问题的解。

DANDC的计算时间

若两个子问题的输入规模大致相当，则DANDC总的计算时间可用递归关系式表示：
T(n)=g(n),n足够小
2T(n/2)+f(n)，否则
注：

T(n):表示输入规模为n的计算时间
g(n):表示对足够小的输入规模直接
f(n):表示COMBINE对两个子区间的子结果进行合并的时间

二分检索（折半查找）

问题描述
已知一个按非降次序排列的元素表a1, a2, …,an,判定某给定的元素x是否在该表中出现。若是，则找出x在表中的位置并返回其所在下；若非，则返回0值。
算法设计

procedure BINSRCH(A,n,x,j)//A为降次排列的数组integer low,high,mid,j,n;low<-1;high<-n;while low<=high domid<-(low+high)/2case:x<A(mid):high<-mid-1:x>A(mid):low<-mid+1:else:j<-mid;returnendcaserepeatj<-0
end BINSRCH

算法的正确性证明

在具体指定A中的数据元素及x的数据类型后，算法中的所有运算都能按要求正确运行——即首先满足确定性和能行性
终止性：满足条件结束程序

性能分析

空间特性：n+5个空间位置——O(n)
时间特性：成功检索/不成功检索

二元比较树

算法执行过程的主体是x与一系列中间元素A(mid)比较。可用一棵二元树描述这一过程，并称之为二元比较树。
内结点（成功，圆形）、外结点（不成功，方形）、路径
若n在区域[2k-1,2k)中，则对于一次成功的检索，BINSRCH至多做k次比较；对于一次不成功的检索，或者做k-1次比较，或者做k次比较。

任何一种以比较为基础的算法，在最坏情况下的计算时间都不低于Ο(logn)。因此，不可能存在最坏情况比二分检索数量级还低的算法。
二分检索是解决检索问题的最优的最坏情况算法。

找最大最小元素

问题描述：
给定含有n个元素的集合，在其中找出最大和最小元素。
算法设计：

 procedureAIATMIN(A,n,max,min)//将A中最大值置于max，最小值置于minInteger i,nmax<-min<-A(1)for i<-2 to n doif A(i)>max thenmax<-A(i)endifif A(i)<min thenmin<-A(i)endifrepeatend STRAITMAXMIN

比较次数
最好情况：按递增次序排列，元素比较次数为n-1次
最坏情况：按递减次序排列，元素比较次数为2(n-1)次
平均情况：元素比较次数为3(n-1)/2次
分治法求解策略
MAX(I) = max(MAX(I1),MAX(I2))
MIN(I) = min(MIN(I1),MIN(I2))
递归求解：

 procedure MAXMIN(i,j,fmax,fmin)integer i,j;global n,A(1:n)case:i=j:fmax<-fmin<-A(i):i=j-1:if A(i)<A(j) then fmax<-A(j):fmin<-A(i)endif:else:mid<-(i+j)/2call MAXMIN(i,mid,gmax,gmin)call MAXMIN(mid+1,j,hmax,hmin)fmax<-max(gmax,hmax);fmin<-min(gmin,gmin)end caseend MAXMIN

性能分析

归并分类

分类问题：排序

内排序：冒泡，插入，归并，快排，堆排
外排序

插入分类

procedure INSERTIONSORT(A,n)A(0)<- -∞for j<-2 to n doitem<-A(j);i<-j-1while item<A(i) doA(i+1)<-A(i);i<-i-1repeatA(i+1)<-item;repeat
end INSERTIONSORT

性能分析

最坏情况：O(n²)
最好情况：O(n)

归并分类（分治策略）

 procedure MERGESORT(low,high)integer low,highif low<high thenmid<-(low+high)/2call MERGESORT(low,mid)call MERGESORT(mid+1,high)call MERGE(low,mid,high)endifend MERGESORT

 procedure MERGE(low,mid,high)//A(low,high)是一个全程数组，它含有两个放在A(low,mid)和A(mid+1,high)中的已分类子集合，目标是将这两个已分类的集合归并成一个集合，并存放到A(low,high)中   integer h,l,j,k,low,mid,high;global A(low,high);local B(low,high)h<-low;i<-low;j<-mid+1;while h<=mid and j<=high do//当两个集合都没有取尽时，将较小的元素先存放到B中if A(h)<=A(j) then B(i)<-A(h);h<-h+1//如果前一个数组中的元素较小else B(i)<-A(j);j<-j+1//如果后一个数组中的元素较小endifrepeat//处理尚有剩余元素的集合if h>mid then for k<-j to high do B(i)<-A(k);i<-i+1;repeatelse for k<-h to mid do B(i)<-A(k);i<-i+1;repeatendiffor k<-low to high do A(k)<-B(k) repeat//将已归并的集合复制到A中end MERGE

性能分析：
T(n)=O(nlogn)
4. 快速分类
划分过程：

 procedure PARTITION(m,p)integer m,p,i; global A(m:p-1)v<-A(m);i<-m//A(m)是划分元素looploop i<-i+1 until A(i)>=v repeat//i由左向右移loop p<-p-1 until A(end PARTITION

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