从合并排序算法看“分治法”

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分治策略
分治步骤
从合并排序看“分治策略”

分治策略

分治法（divide-and-conquer），“分治法策略”是一种很重要的算法。顾名思义，“分而治之”。将原问题划分成 n 个规模较小，而结构与原问题相似的子问题；递归地解决这些子问题，然后再合并其结果，就得到原问题的解。

“分治策略”是很多高效算法的基础，如快速排序、归并排序、傅立叶变换（快速傅立叶变换）。

分治步骤

分解（Divide）：将原问题分解成一系列子问题；
解决（Conquer）：递归地解各个子问题。若子问题足够小，则直接求解；
合并（Combine）：将子问题的结果合并成原问题的解。

备注：

如何划分子问题的规模？从大量实践中发现，在用分治法设计算法时，最好使子问题的规模大致相同。换句话说，将一个问题分成大小相等的k个子问题的处理方法是行之有效的。许多问题可以取 k = 2。这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡（balancing）子问题的思想，它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。

从合并排序看“分治策略”

合并排序（Merge Sort）算法完全按照上述模式，步骤如下：

分解：将 n 个元素分成各含 n/2 个元素的子序列；
解决：用合并排序发对两个子序列递归地排序；
合并：合并两个已排序的子序列得到排序结果。

元素头文件 MyElement.h

#ifndef MYELEMENT_H_INCLUDED

#define MYELEMENT_H_INCLUDED

#define N 10

#define LQ(a,b) ((a)<=(b))

typedef int ElementType;

void Print(ElementType e[], int n);

#endif // MYELEMENT_H_INCLUDED

元素源文件 MyElement.c

#include <stdio.h>

#include "MyElement.h"

void Print(ElementType e[], int n)

    int i;

    for(i=1; i<n; i++)

        printf("%d ",e[i]);

    printf("\n");

合并排序头文件 MergeSort.h

#ifndef MERGESORT_H_INCLUDED

#define MERGESORT_H_INCLUDED

#include "MyElement.h"

void MergeSort(ElementType e[], int n);

void Main_MergeSort();

#endif // MERGESORT_H_INCLUDED

合并排序源文件 MergeSort.c

#include <stdio.h>

#include "MergeSort.h"

#include "MyElement.h"

void Merge(ElementType SR[],ElementType TR[],int i,int m,int n)

    /* 将有序的SR[i..m]和SR[m+1..n]归并为有序的TR[i..n] */

    int j,k,l;

    for(j=m+1,k=i; i<=m&&j<=n; ++k) /* 将SR中记录由小到大地并入TR */

        if LQ(SR[i],SR[j])

            TR[k]=SR[i++];

        else

            TR[k]=SR[j++];

    if(i<=m)

        for(l=0; l<=m-i; l++)

            TR[k+l]=SR[i+l]; /* 将剩余的SR[i..m]复制到TR */

    if(j<=n)

        for(l=0; l<=n-j; l++)

            TR[k+l]=SR[j+l]; /* 将剩余的SR[j..n]复制到TR */

void MSort(ElementType SR[],ElementType TR1[],int s, int t)

    /* 将SR[s..t]归并排序为TR1[s..t]。*/

    int m;

    ElementType TR2[N+1];

    if(s==t)

        TR1[s]=SR[s];

    else

        m=(s+t)/2; /* 将SR[s..t]平分为SR[s..m]和SR[m+1..t] */

        MSort(SR,TR2,s,m); /* 递归地将SR[s..m]归并为有序的TR2[s..m] */

        MSort(SR,TR2,m+1,t); /* 递归地将SR[m+1..t]归并为有序的TR2[m+1..t] */

        Merge(TR2,TR1,s,m,t); /* 将TR2[s..m]和TR2[m+1..t]归并到TR1[s..t] */

/* 归并排序 */

void MergeSort(ElementType e[], int n)

    MSort(e,e,1,n-1);

void Main_MergeSort()

    ElementType d[N]= {49,38,65,97,76,13,27,49,55,10};

    printf("排序前:\n");

    Print(d,N);

    MergeSort(d,N);

    printf("排序后:\n");

    Print(d,N);

    printf("\n");

再者，若有一个数组，查找其中最大值和最小值，也可以采用分治算法。

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#define M 10

/*  求一个数组中最大值和最小值的分治算法

    参数:

　　 s 当前分治段的开始下标

　　 e 当前分治段的结束下标

　　 meter 表的地址

　　 max 存储当前搜索到的最大值

　　 min 存储当前搜索到的最小值

*/

void MaxMin(int s,int e,int meter[],int *max,int *min)

    int i;

    if(e-s <= 1)

        if(meter[s] > meter[e])

            if(meter[s] > *max)

                *max = meter[s];

            if(meter[e] < *min)

                *min = meter[e];

        else

            if(meter[e] > *max)

                *max = meter[e];

            if(meter[s] < *min)

                *min = meter[s];

        return ;

    i = s + (e-s)/2;

    MaxMin(s,i,meter,max,min);

    MaxMin(i+1,e,meter,max,min);

void main()

    int meter[M]= {34,67,54,68,23,12,26,97,80,10};

    int max = INT_MIN; /* 用最小值初始化 */

    int min = INT_MAX; /* 用最大值初始化 */

    printf("The array's Max & Min Value as followed:\n");

    MaxMin(0,M - 1,meter,&max,&min); /* 分治法获取最值 */

    printf("\nMax : %d\nMin : %d\n",max,min);

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