1 题目描述

2 思路分析

3 解法

4 小结

1 题目描述

请编程实现矩阵乘法，并考虑当矩阵规模较大时的优化方法。

2 思路分析

根据wikipedia上的介绍：两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵B的列数和另一个矩阵A的行数相等时才能定义。如A是m×n矩阵和B是n×p矩阵，它们的乘积AB是一个m×p矩阵，它的一个元素其中 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ p。

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值得一提的是，矩阵乘法满足结合律和分配率，但并不满足交换律，如下图所示的这个例子，两个矩阵交换相乘后，结果变了：

image.png

3 解法

解法一、暴力解法

根据矩阵的性质，通过三个for循环，即可完成计算。其实，通过前面的分析，我们已经很明显的看出，两个具有相同维数的矩阵相乘，其复杂度为O(n^3)

//方法1：暴力解

//根据矩阵的性质i*j=i*n+n*j直接计算

public static void directCal(){

int [][]matrix1 = {{1,2},{3,4}};

int [][]matrix2 = {{4,5},{6,7}};

int [][]matrix3 = {{0,0},{0,0}};

int n = matrix1.length;

//计算

for (int i = 0; i < n; i++) {

for (int j = 0; j < n; j++) {

matrix3[i][j] = 0;

for (int k = 0; k < n; k++) {

matrix3[i][j]+= matrix1[i][k]*matrix2[k][j];

}

}

}

//输出结果

for (int i = 0; i < n; i++) {

for (int j = 0; j < n; j++) {

System.out.print(matrix3[i][j]+" ");

}

System.out.println();

}

}

解法二、Strassen算法

在解法一中，我们用了3个for循环搞定矩阵乘法，但当两个矩阵的维度变得很大时，O(n^3)的时间复杂度将会变得很大，于是，我们需要找到一种更优的解法。

一般说来，当数据量较大时，我们往往会把大的数据分割成小的数据，各个分别处理。遵此思路，如果给我们一个很大的两个矩阵呢，是否可以考虑分治的方法循序渐进处理各个小矩阵的相乘，因为我们知道一个矩阵是可以分成更多小的矩阵的。

如下图，当给定一个两个二维矩阵A B时：

image.png

这两个矩阵A B相乘时，我们发现在相乘的过程中，有8次乘法运算，4次加法运算：

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矩阵乘法的复杂度主要就是体现在相乘上，而多一两次的加法并不会让复杂度上升太多。故此，我们思考，是否可以让矩阵乘法的运算过程中乘法的运算次数减少，从而达到降低矩阵乘法的复杂度呢？答案是肯定的。

1969年，德国的一位数学家Strassen证明O(N3)的解法并不是矩阵乘法的最优算法，他做了一系列工作使得最终的时间复杂度降低到了O(n2.80)。

他是怎么做到的呢？还是用上文A B两个矩阵相乘的例子，他定义了7个变量：

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如此，Strassen算法的流程如下：

1 两个矩阵A B相乘时，将A, B, C分成相等大小的方块矩阵：

image.png

可以看出C是这么得来的：

image.png

现在定义7个新矩阵(读者可以思考下，这7个新矩阵是如何想到的)：

image.png

而最后的结果矩阵C 可以通过组合上述7个新矩阵得到：

image.png

表面上看，Strassen算法仅仅比通用矩阵相乘算法好一点，因为通用矩阵相乘算法时间复杂度是

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而Strassen算法复杂度只是

image.png

但随着n的变大，比如当n >> 100时，Strassen算法是比通用矩阵相乘算法变得更有效率。

实验结果：

数据取600位上界，即超过10分钟跳出。可以看到使用Strassen算法时，耗时不但没有减少，反而剧烈增多，在n=700时计算时间就无法忍受。仔细研究后发现，采用Strassen算法作递归运算，需要创建大量的动态二维数组，其中分配堆内存空间将占用大量计算时间，从而掩盖了Strassen算法的优势。于是对Strassen算法做出改进，设定一个界限。当n

改进后算法优势明显，就算时间大幅下降。之后，针对不同大小的界限进行试验。在初步试验中发现，当数据规模小于1000时，下界S法的差别不大，规模大于1000以后，n取值越大，消耗时间下降。最优的界限值在32～128之间。

因为计算机每次运算时的系统环境不同(CPU占用、内存占用等)，所以计算出的时间会有一定浮动。虽然这样，试验结果已经能得出结论Strassen算法比常规法优势明显。使用下界法改进后，在分治效率和动态分配内存间取舍，针对不同的数据规模稍加试验可以得到一个最优的界限。

4 小结：

1)采用Strassen算法作递归运算，需要创建大量的动态二维数组，其中分配堆内存空间将占用大量计算时间，从而掩盖了Strassen算法的优势

2)于是对Strassen算法做出改进，设定一个界限。当n

3)矩阵乘法一般意义上还是选择的是朴素的方法，只有当矩阵变稠密，而且矩阵的阶数很大时，才会考虑使用Strassen算法。

看到分治法上面的求最大子数组，下午搞了3个小时，才算是把这个算法搞懂，总结下思路。

分治法的精髓就是：

1、分--将问题分解为规模更小的子问题；

2、治--将这些规模更小的子问题逐个击破；

3、合--将已解决的子问题合并，最终得出“母”问题的解；

ps：看不懂算法的时候，觉得这说的很扯，看不懂。明白了算法之后，觉得这真的是这个算法的精髓。

先举个小例子：

比如，我们需要计算{1，-2}这两个数组成的最大子数组，很简单，答案是1。

因为数字很少，所以我们一眼就能看出来，但是，如果用分治法的思想来求解这个问题，需要以下三步：

1、分：将数组分为1和-2两个元素，分的方法就是取中间位置的元素下标(low-0,mid((low+high)/2)-1,high-1)，这里就是(0,0)(1,1)。

2、治：在(0,0)之间最大的元素(只有一个元素)是1，(1,1)最大的元素就是-2。两个相比，最大的元素就是1。

3、合：将(0,0)和(1,1)合起来为(0,1)，就是1+-2 = -1。将合起来的结果于上面分的结果进行比较，保留最大的值的数组，即1(0,0)

所以，{1,-2}的最大子数组就是(0,0,1)