如何判断函数极值点与拐点

一、极值点

极值的必要条件： $f'(a)=0$
极值的第一充分条件： $f'(a)=0$ 且 $f'(x)$ 在 $x=a$ 两侧变号
极值的第二充分条件： $f'(a)=0$ 且 $f''(a)\neq 0$ ( $f''(a)>0$ 为极小值， $f''(a)<0$ 为极大值)
极值的第三充分条件：设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处最低阶不为零的导数的阶为 $n$ ，若 $n$ 为偶数 $x=a$ 是极值点。若 $n$ 为奇数 $x=a$ 是不是极值点

二、拐点

函数 $f(x)$ 的拐点可理解为导数 $f'(x)$ 的极值点，因此上述关于极值点的结论都可“稍加改变”后用于判断拐点，下面是一些常用结论：

拐点的必要条件： $f''(a)=0$
拐点的充分条件： $f''(a)=0$ 且 $f'(x)$ 在 $x=a$ 左右两侧变号
利用三阶导数的判别法： $f'(a)=f''(a)=0$ ， $f'''(a)\neq 0$

三、情形分析

情形一： $f'(a)\neq 0$ ， $f''(a)=0$

$x=a$ 既不是 $f(x)$ 的极值点也不是拐点。例如一次函数 $f(x)=2x$ ，有 $f'(0)=2$ ， $f''(0)=0$ ，但显然 $x=0$ 既不是 $f(x)$ 的极值点也不是拐点
$x=a$ 是 $f(x)$ 的拐点，例如 $f(x)=x^3+x$ ，由于 $f'(0)=1$ ， $f''(0)=0$ ， $f'''(0)=6$ ，故 $x=0$ 是 $f(x)$ 的拐点

情形二： $f'(a)=0$ ， $f''(a)\not\equiv 0$

$x=a$ 是 $f(x)$ 的极值点，例如 $f(x)=x^2$ ，满足 $f'(0)=0$ ， $f''(0)=2$ ，显然 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极(小)值点

情形三： $f'(a)=0$ ， $f''(a)=0$

$x=a$ 是 $f(x)$ 的极值点。例如 $f(x)=x^4$ 满足 $f'(0)=f''(0)=0$ ，显然 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点
$x=a$ 是 $f(x)$ 的拐点。例如 $f(x)=x^3$ ，满足 $f'(0)=f''(0)=0$ ，显然 $x=0$ 是 $f(x)$ 的拐点
$x=a$ 既不是 $f(x)$ 的极值点也不是拐点。例如 $f(x)=C$ (常值函数)，显然任意点处一、二阶导数都等于0，但 $f(x)$ 既无极值点也无拐点

情形四： $f'(a)\neq 0$ ， $f''(a)\neq 0$

这是平凡的情形，显然 $x=a$ 既不是 $f(x)$ 的极值点也不是拐点。

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一、极值点

二、拐点

三、情形分析

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