随机变量及其分布——《概率论与数理统计》第二章学习笔记

前言

之前搞了篇第一章的学习报告，这次决定一边学一边写报告，希望早点写完，冲冲冲！

参考的教材是《概率论与数理统计》浙大第五版。

Mindmap

一 随机变量

定义：设随机试验的样本空间为 S = {e}. X = X(e) 是定义在样本空间S上的 实值单值函数 。称 X = X(e) 为随机变量。

类似于函数、映射的概念。

既然类似于函数，就有定义域和值域，通过定义知道，定义域为 样本空间 ，值域为 实数集。

即对随机事件 数量化。

二 离散型随机变量及其分布律

1. 离散型随机变量

定义：全部可能取到的值是 有限个 或 可列无限多个 的随机变量。

这里 有限一定可列，可列不一定无限。

而分布律的定义则是指： X取各个可能值的概率情况。

2. 分布律

教材中提及的离散型随机变量的分布律有三种，分别为0-1分布，二项分布（即n重伯努利分布）以及 泊松分布。

（0 - 1）分布

即两点分布，随机变量X 只可能取 0 与 1 两个值。分布律表达式为
P{X=k}=pk(1−p)1−kk=0,1(0<p<1)P\{X=k\} = p^k(1-p)^{1-k} \qquad k=0,1 \qquad (0<p<1) P{X=k}=pk(1−p)1−kk=0,1(0<p<1)
上面的式子 称 X 服从以p为参数的 （0-1）分布或两点分布

伯努利试验、二项分布

和 0 1 分布类似。

伯努利试验：设试验E只有两个可能结果，A与非A。

设
P(A)=p(0<p<1),P(A‾)=1−pP(A) = p (0 < p < 1), P(\overline A) = 1- p P(A)=p(0<p<1),P(A)=1−p
将E独立重复进行n次，即为 n重伯努利试验。

这里的独立重复和第一章的一样，其实这个对应的二项分布我们在高中时期都有接触过。

二项分布

以X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，X的所有取值为k，0<= k <= n ，根据这个可以得到
P{X=k}=Cnkpk(1−p)n−kP \{X = k\} = C^k_n {p^k}{(1-p)^{n-k}} P{X=k}=Cnk​pk(1−p)n−k
我们取 q = 1- p，则刚好是（p+q）^n 的展开式中p^k 项，称X服从参数为n，p的二项分布，记为 X~b(n, p).

特别地，当n取1时，记为0-1分布。

个人觉得例题的设备维修是一个不错的题目，可以去看看，会对二项分布有更深的了解。

泊松分布

设随机变量X所有可能取值为0，1，2，…，而取各个值的概率
P{X=k}=λke−λk!,k=0,1,2,...,P \{X = k \} = \frac{\lambda ^k e^{-\lambda}}{k!}, k = 0,1,2,..., P{X=k}=k!λke−λ​,k=0,1,2,...,
其中 λ > 0是 常数，则称X服从参数为 λ 的 泊松分布，记为
X∼π(λ)X \sim \pi(\lambda) X∼π(λ)
泊松分布可以用来逼近二项分布，因为二项分布虽然规律性很强，也有比较好的准确性，但是计算的复杂度太高，所以往往会使用泊松分布来逼近。

泊松定理：

设 λ ＞ 0 是一个常数，n是任意正整数，设
npn=λnp_n = λ npn​=λ
则对于任一固定的非负整数k，有
lim⁡n→∞Cnkpnk(1−pn)n−k=λke−kk!\lim_{n\rightarrow \infty}C^k_n{p^k_n(1-p_n)^{n-k}} = \frac{\lambda^k e^{-k}}{k!} n→∞lim​Cnk​pnk​(1−pn​)n−k=k!λke−k​
这里的证明我不写了，可以直接看课本，顺带回忆一下高等数学。

三 随机变量的分布函数

分布函数的提出是因为在某些情况下，随机变量取实数域上的一点的概率是困难且无意义，这里点名连续型随机变量，因此改为选取区间的概率。区间一般以左开右闭的形式。

定义

设 X 是一个随机变量，x是任意实数，函数
F(x)=P{X≤x},−∞<x<∞F(x) = P\{X \leq x \}, -\infty < x < \infty F(x)=P{X≤x},−∞<x<∞
称为 X 的分布函数。

而对于任意实数x1, x2 (x1 < x2) 有
P{x1<X≤x2}=P{X≤x2}−P{X≤x1}=F(x2)−F(x1)P\{ x_1 < X \leq x_2 \} = P \{ X\leq x_2 \} - P\{X \leq x_1 \} = F(x_2) - F(x_1) P{x1​<X≤x2​}=P{X≤x2​}−P{X≤x1​}=F(x2​)−F(x1​)
所以，如果已知X的分布函数，就可以知道X落在任意区间上的概率，这种 由 点到区间段的进步，也更加方便我们研究概率，同时也更完整地描述随机变量的统计规律性。

基本性质

分布函数F（x） 具有以下性质

1. F(x) 是一个不减函数。即，对于任意实数 x1, x2 (x1 < x2) 有
   F(x2)−F(x1)=P{x1<X≤x2}≥0.F(x_2) - F(x_1) = P \{x_1 < X \leq x_2 \} \geq 0. \\ \\ F(x2​)−F(x1​)=P{x1​<X≤x2​}≥0.

2. 0≤F(x)≤1且F(−∞)=lim⁡x→−∞F(x)=0F(∞)=lim⁡x→∞F(x)=1.0 \leq F(x) \leq 1 且 \\ F(-\infty) = \lim_{x \rightarrow -\infty}{F(x)} = 0 \\ F(\infty) = \lim_{x \rightarrow \infty}{F(x)} = 1. \\ 0≤F(x)≤1且F(−∞)=x→−∞lim​F(x)=0F(∞)=x→∞lim​F(x)=1.

3. F(x+0)=F(x),即F(x)是右连续的。F(x + 0) = F(x), 即F(x) 是右连续的。 F(x+0)=F(x),即F(x)是右连续的。

简单概括就是 单调不减，累积非负，右连续。

所以结合定义和性质可知：分布函数其实是一种累积概率，有点类似于算法中的前缀和。

通过课本中的两道例题，我们可以知道对于离散型和连续型的分布函数的使用。

离散型

一般，设离散型随机变量X的分布律为
P{X=xk}=pk,k=1,2,...P\{X=x_k \} = p_k, k = 1,2,... P{X=xk​}=pk​,k=1,2,...
由概率的可列可加性，得
F(x)=P{X≤x}=∑xk≤xP{X=xk},即F(x)=∑xk≤xpkF(x) = P \{X\leq x \} = \sum_{x_k \leq x}{P\{X=x_k \}}, \\ 即 \qquad \qquad \qquad F(x) = \sum_{x_k \leq x}{p_k} F(x)=P{X≤x}=xk​≤x∑​P{X=xk​},即F(x)=xk​≤x∑​pk​
对于离散型，分布函数作为一个累积函数，会存在跳跃，不难发现：跳跃值即为该点的概率值

连续型

设f(x) 为 随机变量的概率密度，有
KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 15: F(x) = \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \int_{-\inft…

四 连续型随机变量及其概率密度

定义

对于随机变量X的分布函数 F(x), 存在非负可积函数 f(x), 使对于任意实数x有
KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 15: F(x) = \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \int_{-\inft…
称 X 为连续随机变量，f(x) 为 X 的概率密度函数，简称概率密度。

由高数关于积分和微分的定义及性质知道，如果原函数即分布函数连续，则概率密度函数也连续。

概率密度的性质

$$

1. f(x) \geq 0 \
2. \begin{equation*}
   \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx
   \end{equation*} = 1
   $$

KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 89: …(x_1) = \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \int_{x_1}^{…

KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 76: … G(x) = \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \int_{-\inf…

它是某一随机变量X的分布函数，f(x) 是 X 的概率密度。

而我们结合定义知道，对于区间上任一点的概率为0，但是该点不一定是不可能事件。所以不可能事件是该事件的概率是0的 充分不必要条件。

三种常见的连续型随机变量

主要用它们的概率密度来描述。

1. 均匀分布

定义

若连续型随机变量X具有概率密度
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \ at position 110: …igned} \right. \̲ ̲
则称X在区间（a，b）上服从 均匀分布，记为 X~U（a，b）。

在a到b的区间上，随机变量落在任一点的概率是等同的，落在(a, b)的子区间内的概率只与子区间的长度有关，与子区间的位置无关。

分布函数

可以假设子区间长度为l，子区间为(c, c+l)，a <= c < c + l <= b, 有
KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 30: … +l \} = \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \int_{c}^{c …
所以就可以得到分布函数
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \ at position 153: …igned} \right. \̲ ̲

2. 指数分布

定义

若连续型随机变量X的概率密度为
f(x)={1θe−x/θ,x>0,0,其他.θ>0，为常数则称X服从参数为θ的指数分布。f(x) = \left\{ \begin{aligned} \frac{1}{\theta}e^{-x/\theta}, x > 0, \\ 0, \qquad \quad 其他. \end{aligned} \right. \\ \theta > 0，为常数则称 X 服从参数为\theta 的指数分布。 f(x)=⎩⎨⎧​θ1​e−x/θ,x>0,0,其他.​θ>0，为常数则称X服从参数为θ的指数分布。

分布函数

我们对f（x）积分即可得到分布函数
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \ at position 103: …gned} \right. \̲ ̲

性质

任意s, t > 0, 有
P{X>s+t∣X>s}=P{X>t}.P\{X > s + t | X > s\} = P\{X > t\}. P{X>s+t∣X>s}=P{X>t}.
这种性质称为 无记忆性。

指数分布在可靠性理论与排队论中有广泛的应用。

3. 正态分布

若连续型随机变量X的概率密度为
f(x)=12πσe−(x−u)22σ2,−∞<x<∞其中μ,σ(σ>0)为常数，则称X服从参数为μ,σf(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-u)^2}{2\sigma^2}}, \qquad -\infty < x < \infty \\ 其中 \mu,\sigma(\sigma>0)为常数，则称X服从参数为 \mu, \sigma f(x)=2π​σ1​e−2σ2(x−u)2​,−∞<x<∞其中μ,σ(σ>0)为常数，则称X服从参数为μ,σ
的 正态分布或 高斯分布，记为
X∼N(μ,σ2).X\sim N(\mu, \sigma^2). X∼N(μ,σ2).

性质

f(x) 的曲线具有以下性质：

1. 曲线关于x = μ 对称。这表明对于任意 h > 0 有
   p{μ−h<X≤μ}=P{μ<X≤μ+h}p \{μ-h < X \leq μ \} = P \{μ< X\leq μ+h \} p{μ−h<X≤μ}=P{μ<X≤μ+h}

2. 当 x = μ时 取到最大值
   f(μ)=12πσ.f(\mu) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}. f(μ)=2π​σ1​.
   x 离 μ越远，f（x）的值越小。这表明对于同样长度的区间，当区间离μ越远时，X落在这个区间上的概率越小。

特别地，当μ = 0时，σ=1时 称随机变量 X 服从 标准正态分布。其概率函数和概率密度函数分别用 φ（x）和 Φ（x）表示。

引理

若随机变量 X~N（μ，σ^2）, 则
Z=X−μσ∼N(0,1).Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0, 1). Z=σX−μ​∼N(0,1).
这个引理表明，我们对一个一般的正态分布通过简单的线性变换转换成一个标准正态分布。

3σ法则

这里不写法则内容，只谈一下在数据处理时的应用，可以用于剔除异常值。

五 随机变量的函数的分布

例题直接看就行，蛮容易懂的。

关于连续型随机变量的函数有下述定理。

定理

设随机变量X具有概率密度
fX(x),−∞<y<∞f_X(x), \\ -\infty < y < \infty fX​(x),−∞<y<∞
又设函数 g(x) 处处可导且恒有 g’(x) > 0 (或恒有 g’(x) < 0), 则 Y=g(X) 是连续随机变量，概率密度为：
fY(y)={fX[h(y)]∣h′(y)∣,α<y<β,0,其他f_Y(y) = \left\{ \begin{aligned} f_X[h(y)]|h'(y)|, \qquad \alpha < y < \beta, \\ 0, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 其他 \end{aligned} \right. fY​(y)={fX​[h(y)]∣h′(y)∣,α<y<β,0,其他​
其中 α = min{g(-∞)， g(∞)}，β = max{g(-∞)， g(∞)}，h(y) 是 g(x) 的反函数。

习题推荐

简单的刷了下后面的习题，做了一个推荐题单。

感兴趣的可以去看看，下列会写一下思路，不写具体答案和解析过程，毕竟都能查到。

2——细心

一个是取球，一个是摇骰子，其实这种题目容易被误认为二项分布，但是二项分布是建立在独立重复的情况下，所以在分析需要判断是否是独立的情况。

显然，取球并不是，而摇骰子题目我们需要判断由于是两个骰子，要求最小的点数，我们需要分别考虑以一个骰子为最小和等同的情况。

10（2）——二项分布

这题其实是问这个人是猜的还是他自己确实牛逼，可以品出来，我们需要使用二项分布计算出他10次对3次的概率，然后我们会发现这个值很小，所以说明他确实nb。

15——泊松定理

这题其实如果没有提示，可能很多人都会用二项分布去做，然后发现这个值很难算，因为其实就转换成
P{X≤10}P\{X \leq 10 \} P{X≤10}
X 为 死亡人数，然后5000人投保，显然数字差的很大，我们可以使用泊松定理去使用泊松分布近似，当然最重要的是泊松分布可以使用查表求得。

24——指数分布+二项分布

其实这道题课上讲过，但我还是推荐，因为确实经典。

我们使用指数分布的概率密度积分得到分布函数，P{X > 10}

利用这个概率，假设p，即可使用二项分布计算结果。

28——正态分布 练手

就一道纯纯的练手题，使用正态分布即可，当然这里会使用到查表。

37——随机变量的函数

其实就是需要熟悉这种题目的过程，仿造第五节的例三，例四即可。

不过这题不用积分，求导就可以了。

后话

第二章就到这里啦，还挺久的。

溜了，去打数竞的题目，有机会的话，可以做一个数竞高数的专题系列blog。
这题其实如果没有提示，可能很多人都会用二项分布去做，然后发现这个值很难算，因为其实就转换成
P{X≤10}P\{X \leq 10 \} P{X≤10}
X 为 死亡人数，然后5000人投保，显然数字差的很大，我们可以使用泊松定理去使用泊松分布近似，当然最重要的是泊松分布可以使用查表求得。

24——指数分布+二项分布

其实这道题课上讲过，但我还是推荐，因为确实经典。

我们使用指数分布的概率密度积分得到分布函数，P{X > 10}

利用这个概率，假设p，即可使用二项分布计算结果。

28——正态分布 练手

就一道纯纯的练手题，使用正态分布即可，当然这里会使用到查表。

37——随机变量的函数

其实就是需要熟悉这种题目的过程，仿造第五节的例三，例四即可。

不过这题不用积分，求导就可以了。

后话

第二章就到这里啦，还挺久的。

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