[概统]本科二年级概率论与数理统计第二讲几何概型

蒲丰投针问题 Buffon's Needle Problem
伯川德悖论 Bertrand Paradox

几何概型的思想非常简单，用图形表示事件，某个事件的概率就等于事件对应的图形面积除以所有可能的事件对应的图形面积。几何概型可以理解成古典概型的几何表示，点表示基本事件，相比古典概型只能处理有限的情况，几何概型的进步性在于它可以处理基本事件总数无限的情况。这一讲将介绍两个几何概型名题，作为高中概率论到本科概率论的过渡。

蒲丰投针问题 Buffon’s Needle Problem

这个问题是1777年由蒲丰提出，这是一种用来估计圆周率的概率方法。蒲丰设计的投针试验步骤如下：

取一张白纸，在上面画上许多条间距为aaa的平行线；
取一根长度为l(l≤a)l (l \le a)l(l≤a)的针，随机地向画有平行直线的纸上掷nnn次，观察针与直线相交的次数，记为mmm；
计算针与直线相交的理论概率ppp，则当试验次数足够多时，p=m/np=m/np=m/n；

下面我们计算一下投一根针的情况下它与直线相交的理论概率，然后推导估计圆周率的公式。

考虑一族平行线，y=ka,k∈Zy=ka,k \in \mathbb{Z}y=ka,k∈Z，我们需要一些变量描述针的位置，因为针的长度是已知的，平行线的方程与xxx坐标无关，不失一般性，我们假设端点的纵坐标为y0y_0y0，针与平行线构成的夹角为θ\thetaθ，则y0∈(0,a],θ∈[0,π/2]y_0 \in (0,a],\theta \in [0,\pi/2]y0∈(0,a],θ∈[0,π/2]，因此所有的基本事件可以用集合Ω\OmegaΩ表示：
Ω={(y0,θ):y0∈(0,a],θ∈[0,π/2]}\Omega = \{(y_0,\theta):y_0 \in (0,a],\theta \in [0,\pi/2]\}Ω={(y0,θ):y0∈(0,a],θ∈[0,π/2]}

现在考虑针与平行线相交的条件，
y0+lsin⁡θ≥ay_0+l\sin \theta \ge ay0+lsinθ≥a

于是针与平行线相交的事件为AAA，
A={(y0,θ):y0∈(0,a],θ∈[0,π/2],y0+lsin⁡θ≥a}A=\{(y_0,\theta):y_0 \in (0,a],\theta \in [0,\pi/2],y_0+l\sin \theta \ge a\}A={(y0,θ):y0∈(0,a],θ∈[0,π/2],y0+lsinθ≥a}

因此
p=∣A∣∣Ω∣=∬Ady0dθπa2p = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{\iint_{A}dy_0d\theta}{\frac{\pi a}{2}}p=∣Ω∣∣A∣=2πa∬Ady0dθ

我们计算积分，根据Fubini定理
∬Ady0dθ=∫0π/2∫a−lsin⁡θady0dθ=∫0π/2lsin⁡θdθ=l\iint_{A}dy_0d\theta = \int_0^{\pi/2}\int_{a-l\sin \theta}^ady_0d\theta \\ = \int_0^{\pi/2}l\sin \theta d \theta = l∬Ady0dθ=∫0π/2∫a−lsinθady0dθ=∫0π/2lsinθdθ=l

所以
p=2lπa=mn⇒π=2nlmap=\frac{2l}{\pi a} = \frac{m}{n} \Rightarrow \pi = \frac{2nl}{ma}p=πa2l=nm⇒π=ma2nl

蒲丰投针问题在众多几何概型问题中脱颖而出的原因是它是最早把几何概型作为工具试图解决其他问题的例子。

伯川德悖论 Bertrand Paradox

伯川德悖论是伯川德在1889年提出来的，这个悖论最核心的思路在于用来描述基本事件的坐标系不一样，计算出来的积分结果会不一样，这就导致同一个事件会有不一样的概率，然而这个悖论在有了微分同胚与积分换元公式之后就自然解决了。

伯川德悖论想讨论的是在一个圆中任选一条弦，要计算这根弦的长度超过半径的概率，他提出了三种概率不同的解法：

方法一随机端点法
我们固定一个端点，然后让另一个端点在圆周上任意运动，连接这两个端点就得到了一条弦，过这个固定的端点只有一个一条直径，过这个端点可以做与这条直径垂直的直线，考虑这条线与弦构成的圆周角，记为θ\thetaθ，则θ∈[0,π]\theta \in [0,\pi]θ∈[0,π]，当θ∈[π/6,5π/6]\theta \in [\pi/6,5\pi/6]θ∈[π/6,5π/6]时，弦长不小于半径，于是概率为2/32/32/3。

方法二随机径向法
对于任意的弦，总是可以找到一个半径与其垂直，于是我们固定一个半径，考虑与它垂直的弦，记垂足与圆心的距离为xxx，则x∈[0,r]x \in [0,r]x∈[0,r]，这里rrr表示半径长度，显然当x≤3r/2x \le \sqrt{3}r/2x≤3r/2时，弦长大于半径，于是概率为3/2\sqrt{3}/23/2。

方法三随机中点法

我们考虑中点的位置，它可以是圆内任意一个点，要使弦长大于半径，需要中点距离圆心的位置不大于半径的3/2\sqrt{3}/23/2，因此概率为3/43/43/4。

根据上文的叙述，我们发现试验时选择的描述随机性的变量不同，得到的概率也不同，所以古典概型这个理论体系是有缺陷的。我们来简单分析一下缺陷发生的原因。

下面假设圆的方程为x2+y2=r2x^2+y^2=r^2x2+y2=r2，

方法一随机端点法
还是考虑固定一个端点，将其坐标设置为(0,−r)(0,-r)(0,−r)，用sss表示另一个端点到固定端点的较短的弧的弧长，则s∈(0,πr]s \in (0,\pi r]s∈(0,πr]，用Ω\OmegaΩ表示所有的基本事件，则
Ω={s:s∈(0,πr]}\Omega = \{s:s \in (0,\pi r]\}Ω={s:s∈(0,πr]}

我们可以把弦长用sss表示为
2rsin⁡sr2r\sin \frac{s}{r}2rsinrs

用AAA表示弦长大于半径的事件，
A={s:2rsin⁡sr≥r}A=\{s:2r\sin \frac{s}{r} \ge r\}A={s:2rsinrs≥r}

于是概率为
p1=∣A∣∣Ω∣=∫Ads∫Ωdsp_1 = \frac{|A|}{|\Omega|} =\frac{\int_A ds}{\int_{\Omega} ds}p1=∣Ω∣∣A∣=∫Ωds∫Ads

方法二随机径向法
我们考虑(0,−r)(0,-r)(0,−r)与原点为端点的半径，用xxx表示从原点到与这条半径垂直的弦的垂足的距离，则
Ω={x:x∈[0,r)}\Omega = \{x:x \in [0,r)\}Ω={x:x∈[0,r)}

弦长可以用xxx表示，
2r2−x22\sqrt{r^2-x^2}2r2−x2

用AAA表示弦长大于半径的事件，
A={x:2r2−x2≥r}A=\{x:2\sqrt{r^2-x^2} \ge r\}A={x:2r2−x2≥r}

于是概率为
p2=∣A∣∣Ω∣=∫Adx∫Ωdxp_2 = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{\int_A dx}{\int_{\Omega} dx}p2=∣Ω∣∣A∣=∫Ωdx∫Adx

方法三随机中点法
用(x,y)(x,y)(x,y)表示中点坐标，则
Ω={(x,y):x2+y2≤r2}\Omega = \{(x,y):x^2+y^2 \le r^2\}Ω={(x,y):x2+y2≤r2}

用AAA表示弦长大于半径的事件，
A={(x,y):x2+y2≤r2/4}A=\{(x,y):x^2+y^2 \le r^2/4\}A={(x,y):x2+y2≤r2/4}

于是概率为
p3=∣A∣∣Ω∣=∬Adxdy∬Ωdxdyp_3 = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{\iint_A dxdy}{\iint_{\Omega} dxdy}p3=∣Ω∣∣A∣=∬Ωdxdy∬Adxdy

现在我们用比较专业的写法重新叙述了三种方法，如果按照现在的公式积分积出来会得到和Bertrand一样的结果，接下来我们考虑这种不同坐标建立方式之间的联系。

方法一与方法二
我们可以推导出方法一与方法二中参数的关系，
2rsin⁡sr=2r2−x22r\sin \frac{s}{r}=2\sqrt{r^2-x^2}2rsinrs=2r2−x2

于是方法一与方法二的积分区域实际上是等价的，然而在积分区域上这个隐函数并不是微分同胚，下图展示r=1r=1r=1的情形，横轴为xxx，纵轴为sss
红线：2sin⁡s=21−x22\sin s=2\sqrt{1-x^2}2sins=21−x2
紫线：2sin⁡s=12\sin s=12sins=1
绿线： 21−x2=12\sqrt{1-x^2}=121−x2=1
方法一中，弦长大于半径的概率对应于第一象限中绿线到纵轴的距离比上第一象限内红线的横截距到原点的距离；方法二中，弦长大于半径的概率对应于两条红线的交点到任意一条紫线的距离比上两条红线的交点到原点的距离。注意到三条线总是交于同一点的，这说明在方法一与方法二中，尽管用到的参数不同，但是对应的事件是相同的。那么为什么会造成两种情况概率不同呢？很简单，就是因为在x∈[0,1/2],y∈[0,π/2]x \in [0,1/2],y \in [0,\pi/2]x∈[0,1/2],y∈[0,π/2]这个窗口中，红线并不是直线，于是表示几何概率的两条线段比例并不相同。

要更详细地回答这个问题就要回顾一下数学史，几何概型在蒲丰投针问题之后开始被普遍接受，但当时被人们所熟知的几何体系依然是古典几何也就是欧氏几何体系，微分几何尚在发展之中，所以几何概型中所用的几何其实是古典几何。然而几何概型在使用中又确实触及到了古典几何的边界，因为它使用了参数化的方式去描述几何对象，但又试图用直角坐标系来处理参数，这背后蕴涵的假设是参数坐标系与真实的物理坐标系之间是一个线性变换，但如这个例子（x∈[0,1/2],y∈[0,π/2]x \in [0,1/2],y \in [0,\pi/2]x∈[0,1/2],y∈[0,π/2]），参数坐标系与真实的物理坐标之间、参数坐标系与参数坐标系之间是微分同胚的关系，这就脱离了古典几何的体系，于是导致了悖论的产生。

不过在Bertrand Paradox之后没过多少年，在Kolmogorov、Markov等数学家的努力下，概率论在测度论的基础上被正式地公理化了。公理化的积极意义在于当我们在给定的概率空间中讨论问题时，不会出现Bertrand paradox这样一题多解的困境。然而这也带来的新的问题，我们在分析问题之前需要做出选择，应该如何建立合适的概率空间。

所以Bertrand Paradox到现在也不能说它得到了完美的解决，因为它的核心观点在于建立不同的概率模型可能会导致不同的计算结果，而概率论公理化只告诉我们这些不同的计算结果在同胚的意义下是等价的。要进一步解释Bertrand Paradox需要大家学习试验设计与分析、抽样调查这两门可，了解不同的试验与采样方式会如何造成不同的随机性。

方法一与方法三
我们换一种方法叙述方法一，考虑圆x2+y2=r2x^2+y^2=r^2x2+y2=r2，考虑圆周上的两个点，用s,ts,ts,t表示这两个点的位置，s,ts,ts,t表示从(0,−r)(0,-r)(0,−r)沿逆时针方向到这两个点的弧长，则s,t∈[0,2πr],s≠ts,t \in [0,2\pi r],s \ne ts,t∈[0,2πr],s=t，不妨假设s<ts<ts<t，则用Ω1\Omega_1Ω1表示方法一的所有基本事件，
Ω1={(s,t):s<t,s,t∈[0,2πr]}\Omega_1 = \{(s,t):s<t,s,t \in [0,2\pi r]\}Ω1={(s,t):s<t,s,t∈[0,2πr]}

连接这两个点的弦长为
2rsin⁡t−s2r2r \sin \frac{t-s}{2r}2rsin2rt−s

用A1A_1A1表示弦长大于半径的事件，则
A1={(s,t):2rsin⁡t−s2r≥r}∩Ω1A_1 = \{(s,t):2r \sin \frac{t-s}{2r} \ge r\} \cap \Omega_1A1={(s,t):2rsin2rt−s≥r}∩Ω1

根据Fubini定理，
∬Ω1dsdt=∫02πr∫0tdsdt=2π2r2\iint_{\Omega_1}dsdt=\int_0^{2\pi r} \int_0^tdsdt = 2\pi^2r^2∬Ω1dsdt=∫02πr∫0tdsdt=2π2r2

考虑A1A_1A1，
A1={(s,t):πr6≤t−s≤5πr6}A_1 = \{(s,t):\frac{\pi r}{6} \le t-s \le \frac{5 \pi r}{6}\}A1={(s,t):6πr≤t−s≤65πr}

根据Fubini定理，
∬A1dsdt=43π2r2\iint_{A_1}dsdt =\frac{4}{3}\pi^2 r^2∬A1dsdt=34π2r2

于是这种构造下，概率也是1/31/31/3。下面讨论坐标变换，考虑s,ts,ts,t的中点，
{x=rsin⁡(s/r−π/2)+rsin⁡(t/r−π/2)2y=rcos⁡(s/r−π/2)+rcos⁡(t/r−π/2)2\begin{cases} x = \frac{r\sin(s/r-\pi/2)+r\sin(t/r-\pi/2)}{2} \\ y = \frac{r\cos(s/r-\pi/2)+r\cos(t/r-\pi/2)}{2} \end{cases}{x=2rsin(s/r−π/2)+rsin(t/r−π/2)y=2rcos(s/r−π/2)+rcos(t/r−π/2)

显然(x,y)(x,y)(x,y)与(s,t)(s,t)(s,t)是微分同胚，根据积分换元公式
∬A1dsdt=∫A1(x,y)∣∂(s,t)∂(x,y)∣dxdy\iint_{A_1}dsdt=\int_{A_1(x,y)} |\frac{\partial (s,t)}{\partial (x,y)}|dxdy∬A1dsdt=∫A1(x,y)∣∂(x,y)∂(s,t)∣dxdy

可以得到方法一与方法三的联系，后续留给读者自行探索。

注关于Bertrand paradox，更严谨更详细的讨论可以参考Bertrand’s Paradox Revisited: More Lessons about that Ambiguous Word, Random