二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，积分区域如何确定（上）

因为关于二维随机变量主题内容重要，难度大，例题多，最主要是积分区间的确定是难点，同时关联卷积概念，求二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，卷积公式容易，积分区间难以确定，所以分成上中下三篇博客写。

一。问题的引入

有一大群人，令X和Y分别表示一个人的年龄和体重，Z表示该人的血压，并且已知Z与X,Y的关系为 Z=g(X,Y), 如何通过X,Y的分布确定Z的分布？

二。公式

Fz(z)=P(Z⩽z)=∫∫g(x,y)⩽zf(x,y)dxdyFz(z)=P(Z⩽z)=∫∫g(x,y)⩽zf(x,y)dxdyF_{z}(z)=P(Z\leqslant z)=\int \int_{g(x,y)\leqslant z} f(x,y)dxdy

特殊类型：Z=X+Y，怎样确定Z的分布？如何求Z的概率密度？
fz(z)=∫∞−∞f(x,z−x)dx=∫∞−∞f(z−y,y)dyfz(z)=∫−∞∞f(x,z−x)dx=∫−∞∞f(z−y,y)dyf_{z}(z)=\int_{-\infty }^{\infty }f(x,z-x)dx = \int_{-\infty }^{\infty }f(z-y,y)dy

当X与Y相互独立时，
就得到所谓的卷积公式卷积公式{\color{Red} {卷积公式}}
fz(z)=fx∗fy=∫∞−∞fX(x)fY(z−x)dx=∫∞−∞fX(z−y)fY(y)dyfz(z)=fx∗fy=∫−∞∞fX(x)fY(z−x)dx=∫−∞∞fX(z−y)fY(y)dyf_{z}(z)=f_{x}*f_{y}=\int_{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)f_{Y}(z-x)dx = \int_{-\infty }^{\infty }f_{X}(z-y)f_{Y}(y)dy
这就是所谓的卷积积分

三。已知f(x,y)，如何计算Z=X+Y型的概率密度fz(z)fz(z)f_{z}(z) 及概率分布 Fz(z)Fz(z)F_{z}(z)？

根据理解或者根据上面的公式，我们知道 fz(z)fz(z)f_{z}(z) 是将f(x,y)求一次积分，Fz(z)Fz(z)F_{z}(z)是求二次积分，难点问题在于如何确定积分区间？需要分成几个区间？如何确定积分区间？需要分成几个区间？{\color{Red} {如何确定积分区间？需要分成几个区间？}}

对于Z=X+Y型的关系，假设对x求一次积分，得到fz(z)fz(z)f_{z}(z)
表示成

fz(z)=∫∞−∞f(x,z−x)dxfz(z)=∫−∞∞f(x,z−x)dxf_{z}(z)=\int_{-\infty }^{\infty }f(x,z-x)dx

，那么我们要画出一个 x–z的坐标，确定积分区间

1）积分区间的左右两边，由x的上下区间决定
假设 x的区间在[a,b]之间, a⩽x⩽ba⩽x⩽ba\leqslant x\leqslant b
那么积分的左右边界就是a到b
2）根据关系式
z=x+y，由于坐标系是x–z的关系，那么y就是变常量
z的最小值：zmin=x+yminzmin=x+yminz_{min}=x+y_{min}
z的最大值：zmax=x+ymaxzmax=x+ymaxz_{max}=x+y_{max}
积分的上下边界就是 zminzminz_{min}到 zmaxzmaxz_{max}

因为我们讨论的f_{z}(z)是按照x积分：
fz(z)=∫∞−∞f(x,z−x)dxfz(z)=∫−∞∞f(x,z−x)dxf_{z}(z)=\int_{-\infty }^{\infty }f(x,z-x)dx

所以按照x积分，积分区间就要分成三段：红色区间，蓝色区间，绿色区间

1)红色区间红色区间{\color{Red} {红色区间}}，
Xmin+Ymin⩽z<Xmin+YmaxXmin+Ymin⩽z<Xmin+YmaxX_{min}+Y_{min} \leqslant z
x积分区间= a 到 Z-Ymin
∫z−yminadx∫az−ymindx\int_{a}^{z-y_{min}}dx

2)蓝色区间蓝色区间{\color{Blue} {蓝色区间}}，
Xmin+Ymax⩽z<Xmax+YminXmin+Ymax⩽z<Xmax+YminX_{min}+Y_{max} \leqslant z
x积分区间= Z-Ymax 到 Z-Ymin
∫z−yminz−ymaxdx∫z−ymaxz−ymindx\int_{z-y_{max}}^{z-y_{min}}dx

3)绿色区间绿色区间{\color{Green} {绿色区间}}，
Xmax+Ymin⩽z<Xmax+YmaxXmax+Ymin⩽z<Xmax+YmaxX_{max}+Y_{min} \leqslant z

x积分区间= Z-Ymax 到 1
∫bz−ymaxdx∫z−ymaxbdx\int_{z-y_{max}}^{b}dx

当x的a,b左右对称时，中间蓝色区间没有，只有两个积分区间：
红色区间红色区间{\color{Red} {红色区间}}和绿色区间绿色区间{\color{Green} {绿色区间}}

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【例一】设(X,Y)的联合密度函数为

f(x,y)={ e−y,0⩽x⩽1,y⩾0, 0,othersf(x,y)={e−y,0⩽x⩽1,y⩾0,0,others

f(x,y)= \begin{cases} & \text{ } e^{-y}, 0\leqslant x\leqslant 1, y\geqslant 0, \\ & \text{ } 0, others \end{cases}
(1)问X,Y是否独立？
(2)求Z=2X+Y的密度函数 fz(z)fz(z)f_{z}(z)和分布函数 Fz(z)Fz(z)F_{z}(z)
(3)求P{Z>3}

【解】
(1) 问X,Y是否独立？
X,Y独立的条件 f(x,y)=fx(x)∗fy(y)f(x,y)=fx(x)∗fy(y)f(x,y)=f_{x}(x)*f_{y}(y)
fX(x)=∫∞−∞f(x,y)dyfX(x)=∫−∞∞f(x,y)dyf_{X}(x)=\int_{-\infty }^{\infty}f(x,y)dy
fX(x)=∫∞0e−ydy=−e−y|∞0=e−y|0∞=1fX(x)=∫0∞e−ydy=−e−y|0∞=e−y|∞0=1f_{X}(x)=\int_{0 }^{\infty}e^{-y}dy=-e^{-y}|^\infty_{0}=e^{-y}|^0_{\infty}=1

fY(y)=∫∞−∞f(x,y)dxfY(y)=∫−∞∞f(x,y)dxf_{Y}(y)=\int_{-\infty }^{\infty}f(x,y)dx
fY(y)=∫∞0e−ydx=∫10e−ydx=e−y∗(x)|10=e−yfY(y)=∫0∞e−ydx=∫01e−ydx=e−y∗(x)|01=e−yf_{Y}(y)=\int_{0 }^{\infty}e^{-y}dx= \int_{0 }^{1}e^{-y}dx=e^{-y}*(x)|^1_{0}=e^{-y}
所以 f(x,y)=fX(x)∗fY(y)f(x,y)=fX(x)∗fY(y)f(x,y)=f_{X}(x)*f_{Y}(y)

(2)求Z=2X+Y的密度函数fz(z)fz(z)f_{z}(z)和分布函数Fz(z)Fz(z)F_{z}(z)

(2.1)先求密度函数fz(z)fz(z)f_{z}(z)

Z=g(X,Y)=2X+Y

求fz(z)fz(z)f_{z}(z)可以利用卷积公式
fZ(z)=∫∞−∞f(x,z−x)dxfZ(z)=∫−∞∞f(x,z−x)dxf_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,z-x)dx

画一个 x-z 的坐标系

Z方向下限：
Zmin=g(X,Ymin)=2X+YminZmin=g(X,Ymin)=2X+YminZ_{min}=g(X,Y_{min})=2X+Y_{min} = 2X+0

Z方向上限：
Zmin=g(X,Ymin)=2X+Ymax=2X+∞=∞Zmin=g(X,Ymin)=2X+Ymax=2X+∞=∞Z_{min}=g(X,Y_{min})=2X+Y_{max} = 2X+\infty =\infty

所以，对公式 fZ(z)=∫∞−∞f(x,z−x)dxfZ(z)=∫−∞∞f(x,z−x)dxf_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,z-x)dx

当 0⩽z<2:0⩽x<z20⩽z<2:0⩽x<z20\leqslant z
fZ(z)=∫z20f(x,z−x)dx=∫z20e−(z−2x)dxfZ(z)=∫0z2f(x,z−x)dx=∫0z2e−(z−2x)dxf_{Z}(z)=\int_{0}^{\frac{z}{2}}f(x,z-x)dx = \int_{0}^{\frac{z}{2}} e^{-(z-2x)}dx
∫z20e2x−zdx(设t=2x−z,dt=2dx)∫0z2e2x−zdx(设t=2x−z,dt=2dx)\int_{0}^{\frac{z}{2}}e^{2x-z}dx (设t=2x-z, dt=2dx)
=12e2x−z|z2012e2x−z|0z2\frac{1}{2} e^{2x-z}|_0^\frac{z}{2}
=12(1−e−z)12(1−e−z)\frac{1}{2}(1-e^{-z})

当 2⩽z<∞:0⩽x⩽12⩽z<∞:0⩽x⩽12\leqslant z
fZ(z)=∫10f(x,z−x)dx=∫10e−(z−2x)dxfZ(z)=∫01f(x,z−x)dx=∫01e−(z−2x)dxf_{Z}(z)=\int_{0}^{1}f(x,z-x)dx = \int_{0}^{1} e^{-(z-2x)}dx
∫10e2x−zdx(设t=2x−z,dt=2dx)∫01e2x−zdx(设t=2x−z,dt=2dx)\int_{0}^{1}e^{2x-z}dx (设t=2x-z, dt=2dx)
=12e2x−z|1012e2x−z|01\frac{1}{2} e^{2x-z}|_0^1
=12(e2−1)e−z12(e2−1)e−z\frac{1}{2}(e^2-1)e^{-z}

所以

fZ(z)=⎧⎩⎨⎪⎪ 0,z<0, 12(1−e−z),0⩽z⩽2, 12(e2−1)e−z,z>2fZ(z)={0,z<0,12(1−e−z),0⩽z⩽2,12(e2−1)e−z,z>2

f_{Z}(z)= \begin{cases}& \text{ } 0,z 2 \end{cases}

(2.2) 求分布函数Fz(z)Fz(z)F_{z}(z)

由分布函数Fz(z)Fz(z)F_{z}(z)的定义可以知道，就是对z再积分
Fz(z)Fz(z)F_{z}(z)与相应的概率密度函数fZ(z)fZ(z)f_{Z}(z)的积分区间的关系是怎样呢？
概率密度函数fZ(z)fZ(z)f_{Z}(z)是对横坐标x积分，分布函数Fz(z)Fz(z)F_{z}(z)是对纵坐标z进行积分。通过z进行分区段，Fz(z)Fz(z)F_{z}(z)与fz(z)fz(z)f_{z}(z)是一样的，但是Fz(z)Fz(z)F_{z}(z)是把fz(z)fz(z)f_{z}(z)再次对z求积分，z的上下限的取值与z的分段不完全一样。

对z积分上下限取值原则：z的取值一直是从小到大方向，下限固定，上限活动，上限就是z对z积分上下限取值原则：z的取值一直是从小到大方向，下限固定，上限活动，上限就是z{\color{Red} {对z积分上下限取值原则：z的取值一直是从小到大方向，下限固定，上限活动，上限就是z}}

FZ(z)=∫∞−∞fZ(z)dzFZ(z)=∫−∞∞fZ(z)dzF_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{Z}(z)dz
根据fZ(z)fZ(z)f_{Z}(z)的分段，分段再积分
所以，
z<0 时，F_{Z}(z)=0
当 0⩽z<20⩽z<20\leqslant z : z的积分区间：下限固定，下限是0，上限活动，上限是z下限固定，下限是0，上限活动，上限是z{\color{Red} {下限固定，下限是0，上限活动，上限是z}}，所以就是在0⩽z<z0⩽z<z0\leqslant z
FZ(z)=∫z0fZ(z)dz=∫z012(1−e−z)dzFZ(z)=∫0zfZ(z)dz=∫0z12(1−e−z)dzF_{Z}(z)=\int_{0}^{z}f_{Z}(z)dz = \int_{0}^{z} \frac{1}{2}(1-e^{-z})dz
=12(z+e−z)|z0=12(z−1+e−z)12(z+e−z)|0z=12(z−1+e−z)\frac{1}{2}(z+e^{-z})|_{0}^{z}=\frac{1}{2}(z-1+e^{-z})

当 2⩽z<∞2⩽z<∞2\leqslant z : 注意分布函数与密度函数的区别，分布函数是对z的累加，要把前面的所有区间全部累加起来要把前面的所有区间全部累加起来{\color{Red} {要把前面的所有区间全部累加起来 }}
当 2⩽z<∞2⩽z<∞2\leqslant z ：z的积分区间为前面一段区间： 0到2，再加上当前区间，下限固定，下限就是2，上限活动，上限就是z下限固定，下限就是2，上限活动，上限就是z{\color{Red} {下限固定，下限就是2，上限活动，上限就是z}}

FZ(z)=∫20fZ(z)dz+∫z2fZ(z)dz=FZ(z)=∫02fZ(z)dz+∫2zfZ(z)dz=F_{Z}(z)=\int_{0}^{2}f_{Z}(z)dz + \int_{2}^{z}f_{Z}(z)dz=
=∫2012(1−e−z)dz+∫z212(e2−1)e−zdz=∫0212(1−e−z)dz+∫2z12(e2−1)e−zdz={\color{Red} {\int_{0}^{2}\frac{1}{2}(1-e^{-z}) dz}}+ \int_{2}^{z}\frac{1}{2}(e^2-1)e^{-z}dz
=1+12(1−e2)e−z=1+12(1−e2)e−z =1+\frac{1}{2}(1-e^2)e^{-z}

所以

FZ(z)=⎧⎩⎨⎪⎪ 0,z<0 12(z−1+e−z),0⩽z<2 1+12(1−e2)e−z,z⩾2FZ(z)={0,z<012(z−1+e−z),0⩽z<21+12(1−e2)e−z,z⩾2

F_{Z}(z)= \begin{cases}& \text{ } 0, z

(3)求P{Z>3}

求P(f(Z))总是跟分布函数FZ(z)FZ(z)F_{Z}(z)联系在一起的。根据概率分布函数的定义 FZ(z)FZ(z)F_{Z}(z)指的是从−∞−∞-\infty到当前z的累加，运算值和查表值都只是 −∞−∞-\infty到某个当前z值得积分，即，积分的结果表示的是 P(Z⩽z)P(Z⩽z)P(Z\leqslant z)的值

所以
P(Z>3)=1−P(Z⩽3)=1−FZ(z)(z=3)P(Z>3)=1−P(Z⩽3)=1−FZ(z)(z=3)P(Z>3)=1-P(Z\leqslant 3)=1-F_{Z}(z)(z=3)

根据上面的积分结果
FZ(3)=(1+12(1−e2)e−z)|z=3FZ(3)=(1+12(1−e2)e−z)|z=3 F_{Z}(3) = ( 1+\frac{1}{2}(1-e^2)e^{-z})|_{z=3}

P(Z>3)=1−(1+12(1−e2))e−3P(Z>3)=1−(1+12(1−e2))e−3 P(Z>3) =1-(1+\frac{1}{2}(1-e^2))e^{-3}
=12(e2−1)e−3≈0.1591=12(e2−1)e−3≈0.1591 = \frac{1}{2}(e^2-1)e^{-3} \approx 0.1591

参考书目：

张天德，叶宏《星火燎原·概率论与数理统计辅导及习题精解》（浙大·第4版）第三章