数据流分析之WorkList Algorithm

（1）如何求解数据流方程？

（2）WorkList Algorithm

（1）如何求解数据流方程？

不论是Reaching Definition Analysis中对可达定义集合的求解，还是Liveness Analysis中对活跃变量集合的求解，本质上都是在解方程。

以RDA举例，其数据流方程如下：

$IN(p) = \cup OUT(p_s),p_s\in pred(p) \ (1) \\OUT(p)=(IN(p)- defs(v))\cup \{(p,v)\} \ (2)$

可认为每个指令都对应方程中的两个变量，即IN(p)和OUT(p)。为了减少变量个数，把(1)式带入(2)式，以去掉IN(p)：

$OUT(p)=(\cup OUT(p_s)- defs(v))\cup \{(p,v)\} ,p_s\in pred(p)$

此时方程中的变量为 $OUT(p),p \in S_{instruction}$ ，而 $defs(v)$ 和 $\{(p,v)\}$ 则属于常数，因为其值随着指令的确定而相应确定。

此外，方程还有一个初值，即，

$IN(first\ program\ point) =\{\ \}$

转化为OUT，

$OUT(first\ program\ point) =\{something\}$

为了说明求解思路，先用更简化的符号来表示上述方程：

$y_1 = c \ (1)\\ y_2 = f_2(y_1,y_2,...,y_n) \ (2)\\ ...\\ y_n= f_n(y_1,y_2,...,y_n) \ (n)$

通过此方程可以看出，数据流方程的一个重要特点就是，待求的每个未知数既是若干方程的自变量，也是某个方程的因变量。

从此特点出发，我们很快发现一种求解的思路，即先给定一组未知数的初始值如 $\{y_1^0,y_2^0,...,y_n^0\}$ ，接着将这组值带入上述方程，得到又一组未知数的值 $\{y_1^1,y_2^1,...,y_n^1\}$ ，如果 $\{y_1^0,y_2^0,...,y_n^0\}$ 与 $\{y_1^1,y_2^1,...,y_n^1\}$ 相等，则说明找到了一组方程的解，因为这组值可让上述方程成立。如果 $\{y_1^0,y_2^0,...,y_n^0\}$ 与 $\{y_1^1,y_2^1,...,y_n^1\}$ 不相等，则重复上述过程，一定能找出方程的一组解。原因如下：

对于RDA，自变量 $OUT(p_s),p_s\in pred(p)$ 越大（即集合的基数越大），根据方程 $OUT(p)=(\cup OUT(p_s)- defs(v))\cup \{(p,v)\} ,p_s\in pred(p)$ ，其因变量 $OUT(p)$ 也相应越大。

由此可知，上述方程中的函数 $f_1,f_2,...f_n$ 都是单调不减的，即如果 $\{y_1^{k+1},y_2^{k+1},...,y_n^{k+1}\}\geq \{y_1^{k},y_2^{k},...,y_n^{k}\}$ ，则有

$f(y_1^{k+1},y_2^{k+1},...,y_n^{k+1})\geq f(y_1^{k},y_2^{k},...,y_n^{k})$ ，即

$\{y_1^{k+2},y_2^{k+2},...,y_n^{k+2}\}\geq \{y_1^{k+1},y_2^{k+1},...,y_n^{k+1}\}$

要让解集合 $\{y_1^{i},y_2^{i},...,y_n^{i}\}$ 随着迭代的进行而越来越大（即集合的基数越大），还需要一个初始条件，即

$\{y_1^1,y_2^1,...,y_n^1\}\geq \{y_1^0,y_2^0,...,y_n^0\}$

如果令 $\{y_1^0,y_2^0,...,y_n^0\}=\{\{\ \},\{\ \},...,\{\ \}\}$ ，则有

$\{y_1^1,y_2^1,...,y_n^1\}\geq \{\{\ \},\{\ \},...,\{\ \}\}=\{y_1^0,y_2^0,...,y_n^0\}$

此时初始条件和函数单调性共同作用，有如下链式反应：

$\{y_1^{k+1},y_2^{k+1},...,y_n^{k+1}\}\geq \{y_1^{k},y_2^{k},...,y_n^{k}\}\geq...\geq\{\{\ \},\{\ \},...,\{\ \}\}$

由于 $y_1,y_2,...y_n$ 是离散值（集合）且有上界（集合元素有上限），因此上述链式反应一定会终止，终止时会有

$\{y_1^{i+1},y_2^{i+1},...,y_n^{i+1}\}= \{y_1^{i},y_2^{i},...,y_n^{i}\}$ ，这即为方程的一组解。

（2）WorkList Algorithm

上述思路对应的算法为Round-Robin Iterations，即各未知数的迭代次数（or更新次数）保持同步，即算法每次循环结束后都有

$\{y_1^k,y_2^k,...,y_n^k\}$ ，而WorkList Algorithm则不同，其未知数的迭代次数不一定同步，在算法每次循环结束后可能会出现

$\{y_1^{k+5},y_2^{k+1},...,y_i^k,...,y_n^{k-2}\}$ ，这说明针对未知数的值的更新，WorkList Algorithm有一套优先级规则。（其实这两种更新思路与数值分析中求解线性方程组的Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代有共通之处）

先给出WorkList Algorithm的（不规范的）伪代码：

WorkList()for i <- 1 to n doy[i] <- { } //初始化随具体情况而定w <- [ y[1] y[2] ... y[n] ] //将未知数放入worklist中while(!is_empty(w)) do y[i] <- extract(w) //从worklist以某种方式抽出一个未知数old <- y[i] //记录此未知数的值y[i] <- f_i(y[1], y[2], ..., y[n]) //挑出以此未知数作为因变量的方程，并进行运算，结果赋给此未知数if old != y[i] then //如果未知数的值在运算后发生变化for y[k] <- dep(y[i]) do //将依赖它的那些未知数放入worklist中，a依赖b的含义是//以a为因变量的方程使用b作为自变量，因此当b发生变化，a也就可能发生变化//故把a放入worklist中w <- insert(w, y[k])

未完待续