利用openmp实现矩阵相乘

基础知识：(会基础的直接看应用部分)

(1)矩阵乘法

简单的说矩阵就是二维数组，数存在里面，矩阵乘法的规则:A*B=C

其中c[i][j]为A的第i行与B的第j列对应乘积的和，即:

代码

const int N=100;

int c[N][N];

void multi(int a[][N],int b[][N],int n)

//n是矩阵大小，n

{

memset(c,0,sizeof c);

for(int i=1;i<=n;i++)

for(int j=1;j<=n;j++)

for(int k=1;k<=n;k++)

c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];

}

显然矩阵乘法的复杂度是O(n^3);

这里我直接写的是n*n的矩阵(即方阵)，显然两个相乘是要一行和一列对应乘，那么矩阵乘法是需要A的行数与B的列数相等的(这是A*B的前提条件，可见矩阵的乘法是不满足交换律的)。然而这些一般都是没什么用的，矩阵快速幂只会用到方阵(除非题目是裸的矩阵乘法)。矩阵快速幂都是方阵也就避免的相乘的前提条件，可以放心用。

(2)矩阵快速幂

就是算A^n;方法很简单，把快速幂算法中的乘法改成矩阵的乘法就可以了(快速幂的方法以前写过，欢迎找以前文章，核心思想是：就是每一步都把指数分成两半，而相应的底数做平方运算。这样不仅能把非常大的指数给不断变小，所需要执行的循环次数也变小，而最后表示的结果却一直不会变。)

代码:

struct mat

{

ll m[maxn][maxn];

}unit;

void init()

{

for(int i=1;i

unit.m[i][i]=1;

}

mat matmul(mat a,mat b)

{

mat ans;

ll tmp =0;

for(int i=1;i

{

for(int j=1;j

{

tmp=0;

for(int k=1;k

{

tmp=(tmp+a.m[i][k]*b.m[k][j])%mod;

}

ans.m[i][j]=tmp;

}

return ans;

}

mat fastPow(mat a,long ong n)

{

mat tmp = a;

mat res=unit;

while(n)

{

if(n&1)

res=matmul(res,tmp);

tmp = matmul(tmp,tmp);

n>>=1;

}

return res;

}

应用

主要通过把数放到矩阵的不同位置，然后把普通递推式变成"矩阵的等比数列"，最后快速幂求解递推式

先通过入门的题目来讲应用矩阵快速幂的套路

矩阵快速幂是用来求解递推式的，所以第一步先要列出递推式:

f(n)=f(n-1)+f(n-2)

第二步是建立矩阵递推式，找到转移矩阵:

进一步递推

这里就是个矩阵乘法等式左边:1*f(n-1)+1*f(n-2)=f(n);1*f(n-1)+0*f(n-2)=f(n-1);

这里还是说一下构建矩阵递推的大致套路,一般An与A(n-1)都是按照原始递推式来构建的，当然可以先猜一个An,主要是利用矩阵乘法凑出矩阵T,第一行一般就是递推式，后面的行就是不需要的项就让与其的相乘系数为0。矩阵T就叫做转移矩阵(一定要是常数矩阵),它能把A(n-1)转移到A(n);然后这就是个等比数列，直接写出通项:

此处A1叫初始矩阵。所以用一下矩阵快速幂然后乘上初始矩阵就能得到An,这里An就两个元素(两个位置)，根据自己设置的A(n)对应位置就是对应的值，按照上面矩阵快速幂写法，res[1][1]=f(n)就是我们要求的。

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图文 | 丁晓鸣

审核 | 米玉秋

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