三角函数的正交性

起源

在高中学向量时，我们知道如果两个向量 ，如  我们就称二者垂直，也就是正交

推论

我们把这个结论扩大范围到三维向量，四维向量等等，只要是两个向量的内积为零，就称二者正交

而当这个维度扩大到无穷的时候，我们可以理解这些维度是一个个连续的的函数值，所以这个结果就是：

也就是积分：

如果 (2) 得 0 我们就称两个函数正交

三角函数的正交

0(sin0x), 1(cos0x)sinx, cosxsin2x, cos2x... ...sin nx, cos nx

可以通过积化和差公式证实，在这些函数中随意挑出两个不同的函数，把它们的积在一个周期上作积分，结果都为零，这就是三角函数的正交性

但是注意：

• 如果是  这种函数形式不同时， 也是成立的，因为它们也是不同的函数
• 而  和两个正弦函数的情况下，必须  才成立

傅里叶级数

周期为 2π 的函数

其实傅里叶对于一个周期函数的解读就是它可以由无穷多的正弦函数与余弦函数组成，也就是这个式子：

但是呢大多数教材上是拆开的形式，那我们也将这个公式拆开：

但是我们一般使用的也不是这个式子，因为  那个位置在工程中用的是  这是怎么一回事呢？我们试着求一下 ：将 (4) 式两边均在其一个周期，即 2π 范围内积分：

后两项均可以利用三角函数的正交性，认为它们与 1，也就是  相乘，结果为 0；所以最后可以得到：

 的这个表达式中系数是 ，在使用的时候有一个系数不是很方便。这个时候便于理解，你可以认为  那个位置不是  而就是一个代替公式中常数项的符号，为了计算方便我们把这个符号定义为 。这么一来计算  的结果就会是 ，不再是原来的结果，在代回原方程的时候记得除以 2 即可

下面我们计算  与  的表达式。首先是 ，我们的方法是：首先等号两边同时乘 ，随后再在其周期上，即 2π 范围内积分：

等号右边的第一项与第三项可以利用三角函数的正交性得出结果为 0；而对于第二项，如果  的话它的值也为 0，所以此时 ，得到这一项的结果为 ，由此求出 ：

相似的，求出  首先等号两边同时乘 ，随后再在其周期上，即 2π 范围内积分一系列化简，得到结果为：

任意周期的函数

上面的情况是在周期为 2π 的时候求出的各项内容，当周期  也就是任意值的时候，我们可以采取换元的方式，令 ，此时对照表：

在代入原结果后，令此时的函数 。且定义角频率 ，可以得到一般形式的傅里叶级数公式：

有了这个公式，就可以对任意一个周期函数进行傅里叶级数分解了

欧拉公式与傅里叶级数

欧拉公式其实就是  和 ，由这两个公式可以得到下式：

将 (11) 式代入 (10) 式得到的周期函数中，整理可得：

如果令等号右侧的第二项中的 n 变为 -n，值证明不变。且将第一项认为是当  时的  那式子将变为：

由于这个离散的区间连起来了，所以这三项是可以合并的，合并之后就是：

这就是傅里叶级数的复数形式表达式。虽然在 ， 和  三种情况下  有不同的取值，但是在将傅里叶级数的标准形式 (10) 式代入整理后，发现后两项均可以整理出一种欧拉公式 (11) 式的形式，进而均可化简为  的形式，而第一项在代入之后就是这个式子当  的情况。

所以傅里叶级数的复数形式的表达式就是：

这段的完整推导可见这个视频：https://www.bilibili.com/video/BV13b411P7mU

傅里叶变换

频域

以时间  为横坐标，函数值  为纵坐标，我们可以得到函数的图像。我们将最终得到的周期函数放在最前面，而将合成它的不同频率的正弦函数、余弦函数按照角频率  从小到大排列，可以得到这样的图像：

这样之后，如果从侧面看这些图像，就是以  为横坐标，就是这样的：

这就是频域

接着傅里叶级数

我们在上面已经了解了傅里叶级数的复数形式，也就是式 (14) 的形式

而这个复数形式中，对  外的部分，我们称它们是傅里叶级数的一种规则、框架。而  这个部分则是真正的将不同的函数区分开的一个要素，记录着原周期函数的特征。而二者相结合并且做累加之后，便合成了原函数本身。

而  它又是一个复数，拥有实部与虚部。当我们在三维空间中建立起其一个以  的复平面为基准，垂直于复平面的轴表示相应的  的轴的时候，这个三维坐标系就是其频谱

而一般情况我们都用  即其幅度来记录每个小的分量的频谱上的值

当 T 趋近无穷

我们为了探索非周期函数的合成。将周期函数的周期 T 趋近于无穷，那么此时的  将会不断的缩小，不再只是在  时 1，2，3 这样离散的量，变成了连续分布的变量。此时将  代入式 (14) 得到：

这个时候显然离散的  并不能满足我们的需求，所以首先定义 ，且意识到了 ，所以最终将 (16) 式化为：

得到这个公式之后：中间的部分，称其为  的函数 ：

它，式 (19) 就是傅里叶变换(FT)，而代回式 (15)：

这个回代的式子就是傅里叶变换的逆变换(IFT)

狄利赫里条件

只有一个函数满足如狄利赫里条件，才能分解为复指数函数之和

• 函数在任意有限区间内连续，或只有有限个第一类间断点

• 在一个周期内，函数有有限个极大值或极小值；

•  在绝对可积，即

总结

其实傅里叶级数加上傅里叶变换，总共就是 6 个公式而已。也就是式 (10) 与式 (18, 19) 就是全部的内容

而我们在得到一盒函数的傅里叶变换之后能做什么呢？对声音信号频谱的处理、对图像的处理等等太多了。甚至计算机视觉中卷积内容也是基于此公式的。

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