傅里叶变换公式_理解1维傅里叶变换

上个学期，学习了信号与系统。虽然知道了傅里叶变换的作用以及如何使用。但是对于它的本质，也就是FT是如何探测到频率的尚有疑惑。

而恰好在知乎上发现了一些很好的回答。故将这些回答整理在这。

感性理解1维FT

知友Heinrich写的傅里叶分析之掐死教程（完整版）直观的解释了时域的信号是如何分解为多个三角信号的。这个教程里面引人注意的是它对于相位的解释。

Heinrich：傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06zhuanlan.zhihu.com

数学理解1维FT

上面这个回答是从直观视觉的角度解释了傅里叶变换。而知友王希写的“我理解的傅里叶变换”则是从数学公式以及基变换的角度解释了傅里叶变换的本质。

王希：我理解的傅里叶变换zhuanlan.zhihu.com

看到这里，傅里叶变换就是对某个时域信号进行了基变换：把这个时域信号写成许多个三角基的线性组合。只不过每个基前面的系数是复数。

而为什么要用三角基呢？这是因为它是一组正交基，正交基向量的内积为0，这让我们可以通过将函数

与

做内积的方法求得所有基的系数。(

从0取到

)

其实之前我想了好久没想明白的原因是，过于关注傅里叶变换可以把频率分解出来，而忘记了这个频率其实是所分解三角基的频率。

既然FT是用三角基分解信号，那我们可不可以用别的基来分解信号呢？当然可以，如果继续深入就会涉及到小波变换。

一种理解DFT的方式

为什么傅里叶变换可以把时域信号变为频域信号？www.zhihu.com

看了这个回答之后，再结合DFT的公式：

对

直接做DFT相当于：

把这个序列为N的信号分解成n个冲激信号（每一个在前一个的基础上发生时移）

2.对每一个冲激信号应用DFT公式，会得到每个冲激信号的

向量

3.把所有的

相加

也就是说由于傅里叶变换是线性的，所有我们可以把一个长度为N的离散信号分解成N个冲激信号。但是目前我不知道这样理解的意义。

从几何角度理解傅里叶变换

下面这个视频从几何的角度非常形象的展现了傅里叶变换的几何意义。

https://www.bilibili.com/video/av19141078www.bilibili.com

我们知道傅里叶变换的公式是

考虑在复数平面内，

表示一个长度为1的向量随时间t在做频率为

的旋转运动。而

则表示这个向量的长度在随着t变化。

通俗来讲，这个式子就是表示将

缠绕在原点上

。如下图：

而积分符号在几何上可以看作是求质心。当信号本身的频率与缠绕频率相接近时，质心就离原点远；反之，当信号本身的频率与缠绕频率相差很大，由于缠绕是杂乱的，也就是各向同性，曲线背分散，质心离原点近。如下图：

相信大家会看到这个图：

现在应该明白了吧。

总结

这篇文章总结了几种理解傅里叶变换的角度。直观认识、公式推导、几何角度，这可以帮助我们对傅里叶变换有一个多方面的认识。当然，傅里叶变换里面可以讨论的问题还有许多。。。

推荐一个网站：里面可以把你画的图形用傅里叶圆上加圆的方法画出来，是一个交互的网站。挺有意思的。

An Interactive Introduction to Fourier Transformswww.jezzamon.com

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