HDU1527——取石子游戏(威佐夫博弈)

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这道题是威佐夫博弈的一道入门题，问的十分简单，就是套威佐夫博弈的两个公式即可，因此顺带说说威佐夫博弈，威佐夫博弈和巴什博奕的场景很类似，所以索性就套用我在巴什博奕那篇文章中所描述的的那个场景。有两个二货，比赛拿XX(XX可以是任何东西，只要能定量拿走就好)，只是这一次他们不再将XX混为一堆，而是作为两堆(两堆XX的数量均任意个)，然后拿走的方式也改为： 1，从一堆里拿，可以拿任意数量个。2，从两堆里分别拿相等数量个。这两种方式二选一，但至少拿走一个XX，若谁取走最后一个XX，谁就赢了。是不是场景变得比巴什博奕麻烦了那么一丢丢啊~~~~

那么问题来了，如何取胜呢，，，(以下论述均是我参考了百度百科上的论述所写的,如果大家觉得写的太难看，可以直接参照百度百科上的：威佐夫博弈)

首先，我们标记一下这两堆石头:(a,b),其中a表示当前状态第一堆的数量，b表示当前状态第二堆的数量，(这里我要强调一点：就是这两堆XX它们的价值是等价的，它们是可以互换的，并不一定说第二堆的数量一定比第一堆多，这一点在后续论述中是有一定作用的)。

然后百科上对于(a,b)也给了一个特定的名称叫做“局势”，然后给出一些明显的必败状态(也就是当你面对这些状态时，只要你的对手够聪明，不犯错，无论你怎么拿，你都是必输的)（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）、...... 、（ak，bk） (k = 0, 1, 2, 3,......)。并称这些必败状态为“奇异局势”(至于为什么要叫奇异局势......额......不太清楚，忽略吧~)接下来的工作就是找出这些奇异局势的特点并总结规律。

然后就会得到a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k。然后公式化就得到了奇异局势的状态公式:

ak = [ k * (1 + √5) / 2 ] , ([x]表示对x取整，也就是 (int)x )

bk = ak + k

按百科上所说，奇异局势有三个性质——

性质1：每个自然数都包含在且只包含在一个奇异局势中。

证明：因为ak为在其之前的奇异局势中未出现过的最小的自然数，所以ak的取值一直是保证在之前状态未出现过的数中的最小值，所以每一个当前状态的ak都要比之前的状态的ak要大，即ak>ak-1(k-1是下标)，还想不通。。。不要紧，，把k和k-1带入上面ak的公式，这总能接受吧~~~~但ak不一定比bk-1大，看上面给出的几组奇异局势就不难看出。又bk=ak+k>ak-1+(k-1)=bk-1，所以对于任意的奇异状态(ak，bk)之前的状态中一定未出现过其中的数字，但ak取值是自动取当前未出现过的最小的数字，所以每一个自然数都一定会出现，故性质得证。

性质2：对任意的奇异局势，任何合法的操作都会使其成为非奇异局势，也就是奇异局势的所有后继状态均为非奇异局势。

证明：①若只从一堆里取XX，那么另一堆得数量没变，由性质1知，这个没变的自然数只会出现在当前的奇异局势中，所以当另一堆发生变化时，改变后得到的状态一定是非奇异局势。

②若从两堆里取相同数量的XX，那么由于 bk - ak = k (由公式得)，所以他们之间的差值是不会变的，又因为对于任意的奇异局势它的两堆之间的差值是唯一值k，所以这种取法后的状态仍旧是非奇异局势。故性质得证。

性质3：任何非奇异局势都可以通过某种合法操作得到奇异局势，即奇异局势的所有后继状态中存在奇异局势。

证明：对于任意的一个非奇异局势(x,y),由性质1知：任何自然数均会出现在一个奇异局势中，所以要么 x = ak，要么 y = bk (k ∈ { 0, 1, 2, 3, 4, 5, .......})，所以分类讨论：

①若x = ak，y > bk，那么y减去(y - bk)即可得到奇异局势(ak , bk).

②若x = ak，y < bk，那么两堆同时减掉x-a(y-x) (y-x为下标)，得到奇异局势(a(y-x) , a(y-x)+y-x).

③若x > ak，y = bk，那么x减去(x - ak)即可得到奇异局势(ak , bk).

④若x < ak，y = bk，这时又要对该状况细化分类讨论:

情况(1): x = aj , (j < k),此时从y中拿走(y - bj)即可得到奇异局势(aj , bj),

情况(2): x = bj , (j < k),此时从y中拿走(y - aj)即可得到奇异局势(aj , bj).

这里的④为什么要分类呢？这就要注意上文中我曾提到的强调点，这两堆是等价值的，也就是情况(2)得到奇异局势其实是(bj , aj),此时第一堆是比第二堆多的，为了同意奇异局势的格式才把它写成(aj , bj)。所以细化分类讨论的其实是对操作后第一堆多余第二堆和第二堆多余第一堆的两种情况进行讨论。这样性质3也得证。

好了，解释了这么多，回到此题正解，这道题就是套上述的ak和bk的公式，若符合奇异局势，则先手输，否则先手胜，输出对应结果即可。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>using namespace std;int main()
{//freopen("in.in","r",stdin);//freopen("out.out","w",stdout);int n, m;while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){int a=min(n,m);int b=max(n,m);double k=(double)b-a;int term=(int)(k*(1+sqrt(5))/2);if(term==a)printf("0\n");elseprintf("1\n");}return 0;
}

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