环形博弈 HDU

n个石子围城一个圈

每次可从中取连续的 x 个石子 1<=x<=k

问先手后手谁赢

这个问题其实很简单

① k >= n ，先手一次翻完，先手赢

② 2*k >= n，先手翻一次，后手一次翻完，后手赢

③ 2*k < n，

此时如果 k = 1，我们知道显然，n为奇数先手赢，偶数后手赢

如果 k>=2，先手取一次，剩 m 个一定无法一次取完

但是一定可以把这 m 个取一下变成两个相等的部分

因为 k>=2，奇数取一个掰两半，偶数取两个掰两半就行

然后相等的两部分，由sg定理，sg[x] ^ sg[x] = 0

虽然这个sg不是巴什博奕那样取个模那样求，而且我们也完全没有具体去算它

但是 sg[x] ^ sg[x] = 0，这就够了，这就是必败态了，所以先手必败

所以结论：

①k >= n，先手必胜

②k == 1，n奇先手必胜，n偶后手必胜

③否则，后手必胜

环形博弈模板

bool circle_game(int n,int k){if(k>=n||k==1&&(n&1)) return 1;return 0;
}

AC代码：

#pragma GCC optimize("Ofast")
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t,n,k;
bool circle_game(int n,int k){if(k>=n||k==1&&(n&1)) return 1;return 0;
}
int main(){scanf("%d",&t);for(int cas=1;cas<=t;cas++){scanf("%d %d",&n,&k);if(circle_game(n,k)) printf("Case %d: first\n",cas);else printf("Case %d: second\n",cas);}return 0;
}

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