【LuoguP5004】 专心OI - 跳房子
首先这是一道计数类DP，那我们得先推式子，经过瞎掰乱凑，经过认真分析，我们可以得到这样的方程
F(N)=F(0)+F(1)+....+F(N-M-1)
所有F初值为1，F(1)=2
ANS=F(N+M);
那显然我们有这样的代码：
1 #include<iostream>
2 #include<cstdio>
3 #include<cstring>
4 #include<algorithm>
5 const int M=1e9+7;
6 using namespace std;
7 inline int read(){
8 char chr=getchar(); int f=1,ans=0;
9 while(!isdigit(chr)) {if(chr=='-') f=-1;chr=getchar();}
10 while(isdigit(chr)) {ans=(ans<<3)+(ans<<1);ans+=chr-'0';chr=getchar();}
11 return ans*f;
12 }
13 void write(int x){
14 if(x<0) putchar('-'),x=-x;
15 if(x>9) write(x/10);
16 putchar(x%10+'0');
17 }int n,m,f[10000005];
18 int main(){
19 n=read(),m=read();
20 f[0]=1;f[1]=2;
21 for(int i=1;i<=n+m;i++){
22 f[i]=1;
23 for(int j=0;j<=i-m-1;j++)
24 if(f[i]+f[j]>M) f[i]=f[i]+f[j]-M;
25 else f[i]=f[i]+f[j];//卡一波时间
26 }cout<<f[n+m];
27 return 0;
28 }显然这是O（n^2）的算法，然而面对N=1e18，这个算法可以去优化见鬼了，这样子由于语句比较简单，勉强可以过十万的数据大概30分
考虑优化：
我们先看一下上面的式子，尝试对这个式子变形...好吧，其实就是迭代，然后用鸽笼原理一通乱搞：
F(N)=F(N-1)+F(N-M-1)
ANS=F(N)
好了我们把这个东西优化得到了O(N)的算法：
期望得分：50pts
1 #include<iostream>
2 #include<cstdio>
3 #include<cstring>
4 #include<algorithm>
5 const int M=1e9+7;
6 using namespace std;
7 inline int read(){
8 char chr=getchar(); int f=1,ans=0;
9 while(!isdigit(chr)) {if(chr=='-') f=-1;chr=getchar();}
10 while(isdigit(chr)) {ans=(ans<<3)+(ans<<1);ans+=chr-'0';chr=getchar();}
11 return ans*f;
12 }
13 void write(int x){
14 if(x<0) putchar('-'),x=-x;
15 if(x>9) write(x/10);
16 putchar(x%10+'0');
17 }int n,m,f[10000005];
18 int main(){
19 n=read(),m=read();
20 f[0]=1;f[1]=2;
21 for(int i=2;i<=n;i++)
22 f[i]=(f[i-1]+f[max(i-m-1,0)])%M;
23 cout<<f[n];
24 return 0;
25 }考虑继续优化
某个大佬说过1e18的数据考虑logn的算法，比如快速幂。
这既然是DP，那自然往矩阵乘法考虑。
考虑构造矩阵：m这么小，而且递推式中出现的常量只有m，显然矩阵的大小要往m*m考虑
m=1的时候斐波那契，显然不用我推了
看一下其他情况：
得到通式（写了的是1，其他是0）：
然后会矩阵加速的同学都知道该怎么做了吧...
1 // luogu-judger-enable-o2
2 #include<iostream>
3 #include<cstdio>
4 #include<cstring>
5 #include<algorithm>
6 #define int long long
7 const int M=1e9+7;
8 using namespace std;
9 inline int read(){
10 char chr=getchar(); int f=1,ans=0;
11 while(!isdigit(chr)) {if(chr=='-') f=-1;chr=getchar();}
12 while(isdigit(chr)) {ans=(ans<<3)+(ans<<1);ans+=chr-'0';chr=getchar();}
13 return ans*f;
14 }
15 void write(int x){
16 if(x<0) putchar('-'),x=-x;
17 if(x>9) write(x/10);
18 putchar(x%10+'0');
19 }int n,m;
20 struct P{int a[20][20];P(){memset(a,0,sizeof(a));}}A,B;
21 P operator *(const P &x,const P &y){
22 P ans;
23 for(int i=0;i<m;i++)
24 for(int k=0;k<m;k++)
25 for(int j=0;j<m;j++)
26 ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j])%M;
27 return ans;
28 }
29 void KSM(int n){
30 while(n){
31 if(n&1) B=B*A;
32 n>>=1;A=A*A;
33 }
34 }
35 inline void init(){
36 n=read(),m=read();--n,++m;
37 A.a[m-1][m-1]=A.a[0][m-1]=1;
38 for(int i=0;i<m-1;i++) A.a[i+1][i]=1;//初始矩阵
39 for(int i=0;i<m;i++)B.a[0][i]=i+2;
40 }
41 signed main(){
42 init();KSM(n);
43 write(B.a[0][0]);
44 return 0;
45 }转载于:https://www.cnblogs.com/zhenglw/p/10437703.html
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