CodeForces - 1425D Danger of Mad Snakes(容斥+组合数学)

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题目大意：初始时有一个二维平面，平面上给出 n 条蛇，现在可以选择 m 条不同的蛇进行捕杀，当选择了某条蛇，其所在的坐标可以覆盖到的半径为 r 的范围内的蛇都会被捕杀，更确切的说，选择了位置 ( x , y ) 的蛇，那么 ( x - r , y - r ) ~ ( x + r , y + r ) 这个矩形内的蛇都会被捕杀，每条蛇都有自己的价值，每次捕杀的价值是(所有被捕杀的蛇的价值和)的平方，问所有方案的价值和是多少

题目分析：比较巧妙的一道容斥题目，首先看到平方应该顺着去思考，而不是我行我素的去思考每条蛇单独的贡献

利用完全平方公式将平方和拆开： $(x+y)^2=x^2+y^2+2*x*y=x*x+y*y+x*y+y*x$

如果增加变量的个数，不难看出实际上也是两层 for 循环可以表达出来的一个求和公式

所以我们不妨去考虑每一对蛇 ( i , j ) 的贡献，直接求交集是比较困难的，但是正难则反，可以思考求交集的补集，那么利用容斥推一下公式：

同时包含蛇 i 和蛇 j 的方案 = 总方案 - ( 不同时包含蛇 i 和蛇 j 的方案 )
不同时包含蛇 i 和蛇 j 的方案 = 不包含蛇 i 的方案 + 不包含蛇 j 的方案 - 不包含蛇 i 也不包含蛇 j 的方案
不包含蛇 i 也不包含蛇 j 的方案 = 不包括 { ( 蛇 i 的捕杀矩形 ) 与 ( 蛇 j 的捕杀矩形 ) 的并集 } 的方案 = { 全集 - ( 蛇 i 的捕杀矩形 ) 与 ( 蛇 j 的捕杀矩形 ) 的并集 } 的方案
( 蛇 i 的捕杀矩形 ) 与 ( 蛇 j 的捕杀矩形 ) 的并集 = 蛇 i 后的捕杀矩形 +蛇 j 后的捕杀矩形 - ( 蛇 i 的捕杀矩形与蛇 j 的捕杀矩形的面积交集 )

不难发现一步步递推是可以间接求出我们所想要求出的答案的，关于最后的那个矩形面积，用二维前缀和求一下就好了，其余的用组合数学求解一下即可

补充一下关于矩形的交集，实质上是两条线段的交集，这个在纸上稍微画一下就明白了

代码：

//#pragma GCC optimize(2)
//#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
//#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ull;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=2e3+100;const int mod=1e9+7;int x[N],y[N],maze[N][N];LL fac[N],inv[N],b[N];LL q_pow(LL a,LL b)
{LL ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;}return ans;
}LL C(int n,int m)
{if(n<m)return 0;return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}int cal(int x1,int y1,int x2,int y2)
{if(x1>x2||y1>y2)return 0;x1=max(x1,1),y1=max(y1,1);x2=min(x2,1000),y2=min(y2,1000);return maze[x2][y2]-maze[x2][y1-1]-maze[x1-1][y2]+maze[x1-1][y1-1];
}void init()
{fac[0]=1;for(int i=1;i<N;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;inv[N-1]=q_pow(fac[N-1],mod-2);for(int i=N-2;i>=0;i--)inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
}int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.ans.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);init();int n,m,r;scanf("%d%d%d",&n,&m,&r);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d%d%lld",x+i,y+i,b+i);maze[x[i]][y[i]]++;}for(int i=1;i<=1000;i++)for(int j=1;j<=1000;j++)maze[i][j]+=maze[i-1][j]+maze[i][j-1]-maze[i-1][j-1];LL ans=0;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++){LL res=b[i]*b[j]%mod;LL cnt=C(n,m);LL noi=C(n-cal(x[i]-r,y[i]-r,x[i]+r,y[i]+r),m);LL noj=C(n-cal(x[j]-r,y[j]-r,x[j]+r,y[j]+r),m);LL noij=C(n-cal(x[i]-r,y[i]-r,x[i]+r,y[i]+r)-cal(x[j]-r,y[j]-r,x[j]+r,y[j]+r)+cal(max(x[i]-r,x[j]-r),max(y[i]-r,y[j]-r),min(x[i]+r,x[j]+r),min(y[i]+r,y[j]+r)),m);cnt=((cnt-noi-noj+noij)%mod+mod)%mod;res=cnt*res%mod;ans=(ans+res)%mod;}printf("%lld\n",ans);return 0;
}

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