理论概念

这玩意一直都是个好东西，但是我总觉得玄学的一批。今天借着专题学习的劲头，把Hash好好梳理一下。

定义/作用

哈希这东西应该都不陌生。将复杂的信息映射到一个容易维护的值域之内。那么Hash函数就有点类似于一个映射关系。通过这个函数来产生一个关键值(Key)，通过关键值与值(value)的对应关系，制作一个对应表。即哈希表(Hash table)。他可以实现通过Key快速的查找Value。

那么其最大作用也就显而易见。查重。也就是说，查找当前的值是否已经存在。难点在于，如何去产生这个对应关系？简单的映射关系是有相当的可能产生“两组不同的值生成同一个关键值”的错误（我们称其为哈希冲突）。如果哈希函数的设计太水，那么这个哈希冲突也就非常容易产生了。

整数(int)哈希举例

引用了一个对整数数组生成Hash的方法，这里只做举例。在本例中，不关心数组中数的序列问题。即只考虑数组内值不同为不同状态，如果值相同但顺序不同，我们仍认为他是同一状态。（会产生相同的关键值）

对于一组数，其乘积与其累加之和与任意较大质数P取模。

//这里是针对于某一个题目所引入的，所以具体原因会在下方的题目展示中阐释。

字符串哈希

定义与技巧

常用的字符串哈希分两类（没错，我觉得该分两类的！）

自然溢出式Hash与多重Hash。一般来讲，前者虽然发生哈希冲突的几率非常小，但总会被刁钻（诶嘿嘿）的出题人卡几个数据。是的，他们是具备能卡你自然溢出单哈希的能力的。所以稳妥起见，后者运用频率偏高一些。

什么是字符串哈希？就是把一个任意长度的字符串映射成一个非负整数，并且其冲突概率几乎为0

把字符串看作P进制数，并分配一个大于0的数值，代表每种字符。啥意思啊？比如a对应1,b对应2,c对应3。取一个固定的值M，求出该P进制数对于M的余数，作为该字符串的哈希值。一般来说，P取131或者13331，这样冲突几率就极低。一般M取2⁶⁴，也就是一个自然溢出的unsigned long long。就让你溢出，取代低效的取模运算。

这也就是第一类Hash。为了避免被卡，我们多取一些适当的P与M。（例如大质数），进行多组Hash运算。如果结果都相同，我们就认定这是一个相等的字符串。

性质

对没错！我觉得这是性质！！

有了以下两种性质，我们便可以做到在O（N）的时间内预处理所有前缀Hash值，并在O（1）的时间内完成查询任意字串的哈希值。

一、

对于任意新字符串S+C，他的Hash值就是

H(S+C)=(H(S)*P+Value[C])mod M

为什么？我们来进行一个简单的模拟。

例如，S="abc"，C=“d”

S表示为P进制的数：1 2 3

H(S)=1*P²+2*P+3

H(S+C)=1*P³+2*P²+3*P+4=H(S)*P+4

这里可以把*P的操作视为在P进制下的左移运算。Value[c]是我们为c选定的代表数值。

二、

如果已知字符串S的Hash值为H(S)，字符串S+T的Hash值为H(S+T)，那么字符串T的Hash值

H(T)=(H(S+T)-H(S)*P^length(T)) mod M

那么我们继续之前的模拟。

例如，S="abc"，C=“d”，T=“xyz”

S表示为P进制的数：1 2 3

S+T的P进制数为：1 2 3 24 25 26

H(S)=1*P²+2*P+3

H(S+T)=1*P⁵+2*P⁴+3*P³+24*P²+25*P+26

S在P进制下左移length(T)位：1 2 3 0 0 0

两者相减就是T表示为P进制数：24 25 26

H(T)=H(S+T)-(1*P²+2*P+3)*P³=24*P²+25*P+26

在题目中的Show Time

Snowflake Snow Snowflakes  POJ3349

等待补充

兔子与兔子 CH1401

由于目标题库被查表…等待恢复。

好文章 2015模拟题By nodgd

因为这是一个专题博文，所以我不会去仔细深究他没有涉及到哈希的原理。

在这道题中，我们可以枚举每一个长度为m的子串。那么一共会有n-m+1个长度为m的子串。我们将他们的哈希值分别取出来，然后再进行比对。如果相等，则忽略，否则ans++

我听说这道题用自然溢出哈希是翻车了的。故我贴这个题的目的，是想贴一下双哈希的大概样子。

#include<bits/stdc++.h>
#define N 200009
using namespace std;
char a[N];
long long ans, n, m,hs2[N], len1[N], len2[N], hs1[N],p1=131,p2=13331,mod1=1000000009,mod2=1000000007;
struct hah{long long h1, h2;
}hash[N];
long long cmp(hah x, hah y){if (x.h1 == y.h1)    return x.h2 < y.h2; return x.h1 < y.h1;
}
void prepare(){len1[0] = 1, len2[0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++){hs2[i] = (hs2[i - 1] * p2 + (a[i] - 'a' + 1)) % mod2;//性质1 hs1[i] = (hs1[i - 1] * p1 + (a[i] - 'a' + 1)) % mod1;len1[i] = (len1[i - 1] * p1) % mod1, len2[i] = (len2[i - 1] * p2) % mod2;//预处理了p的前缀和 次方
    }
}
void gethash(long long l, long long r, long long oi){hash[oi].h2 = (hs1[r] - hs1[l - 1] * len1[r - l + 1] % mod1 + mod1) % mod1;//性质2 hash[oi].h1 = (hs2[r] - hs2[l - 1] * len2[r - l + 1] % mod2 + mod2) % mod2;
}
int main(){cin>>n>>m;cin >> a + 1;prepare();for (int i = 1; i <= n - m + 1; i++)gethash(i, i + m - 1, i);//枚举每个子串并取其哈希值 sort(hash + 1, hash + n - m + 2, cmp);for (int i = 1; i <= n - m + 1; i++)if (hash[i].h2 == hash[i + 1].h2 && hash[i].h1 == hash[i + 1].h1)    continue;else ans++;cout<<ans;
}