785. Is Graph Bipartite? 判断二分图

Title

给定一个无向图graph，当这个图为二分图时返回true。

如果我们能将一个图的节点集合分割成两个独立的子集A和B，并使图中的每一条边的两个节点一个来自A集合，一个来自B集合，我们就将这个图称为二分图。

graph将会以邻接表方式给出，graph[i]表示图中与节点i相连的所有节点。每个节点都是一个在0到graph.length-1之间的整数。这图中没有自环和平行边： graph[i] 中不存在i，并且graph[i]中没有重复的值。

示例 1:
输入: [[1,3], [0,2], [1,3], [0,2]]
输出: true

解释:
无向图如下:

0----1
|    |
|    |
3----2

我们可以将节点分成两组: {0, 2} 和 {1, 3}。

示例 2:
输入: [[1,2,3], [0,2], [0,1,3], [0,2]]
输出: false
解释:
无向图如下:

0----1
| \  |
|  \ |
3----2

我们不能将节点分割成两个独立的子集。

注意:

graph 的长度范围为 [1, 100]。
graph[i] 中的元素的范围为 [0, graph.length - 1]。
graph[i] 不会包含 i 或者有重复的值。
图是无向的: 如果j 在 graph[i]里边, 那么 i 也会在 graph[j]里边。

Solve

对于图中的任意两个节点 u 和 v，如果它们之间有一条边直接相连，那么 u 和 v 必须属于不同的集合。

如果给定的无向图连通，那么我们就可以任选一个节点开始，给它染成红色。随后我们对整个图进行遍历，将该节点直接相连的所有节点染成绿色，表示这些节点不能与起始节点属于同一个集合。我们再将这些绿色节点直接相连的所有节点染成红色，以此类推，直到无向图中的每个节点均被染色。

如果我们能够成功染色，那么红色和绿色的节点各属于一个集合，这个无向图就是一个二分图；如果我们未能成功染色，即在染色的过程中，某一时刻访问到了一个已经染色的节点，并且它的颜色与我们将要给它染上的颜色不相同，也就说明这个无向图不是一个二分图。

算法的流程如下：

我们任选一个节点开始，将其染成红色，并从该节点开始对整个无向图进行遍历；
在遍历的过程中，如果我们通过节点 u 遍历到了节点 v（即 u 和 v 在图中有一条边直接相连），那么会有两种情况：
- 如果 v 未被染色，那么我们将其染成与 u 不同的颜色，并对 v 直接相连的节点进行遍历；
- 如果 v 被染色，并且颜色与 u 相同，那么说明给定的无向图不是二分图。我们可以直接退出遍历并返回 False 作为答案。
当遍历结束时，说明给定的无向图是二分图，返回 True 作为答案。

注意：题目中给定的无向图不一定保证连通，因此我们需要进行多次遍历，直到每一个节点都被染色，或确定答案为 False 为止。每次遍历开始时，我们任选一个未被染色的节点，将所有与该节点直接或间接相连的节点进行染色。

深度优先搜索

Code

 def isBipartite_DFS(self, graph: List[List[int]]) -> bool:n, unColored, red, green = len(graph), 0, 1, 2color, valid = [unColored] * n, Truedef dfs(node: int, c: int):nonlocal validcolor[node] = cnextC = (green if c == red else red)for neighbor in graph[node]:if color[neighbor] == unColored:dfs(neighbor, nextC)if not valid:returnelif color[neighbor] != nextC:valid = Falsereturnfor i in range(n):if color[i] == unColored:dfs(i, red)if not valid:breakreturn valid

复杂度分析

时间复杂度：O(N+M)，其中 N 和 M 分别是无向图中的点数和边数。

空间复杂度：O(N)，存储节点颜色的数组需要 O(N) 的空间，并且在深度优先搜索的过程中，栈的深度最大为 N，需要 O(N) 的空间。

广度优先搜索

Code

 def isBipartite_BFS(self, graph: List[List[int]]) -> bool:n, unColored, red, green = len(graph), 0, 1, 2color = [unColored] * nfor i in range(n):if color[i] == unColored:q = collections.deque([i])color[i] = redwhile q:node = q.popleft()nextC = (green if color[node] == red else red)for neighbor in graph[node]:if color[neighbor] == unColored:q.append(neighbor)color[neighbor] = nextCelif color[neighbor] != nextC:return Falsereturn True

复杂度分析

时间复杂度：O(N+M)，其中 N 和 M 分别是无向图中的点数和边数。

空间复杂度：O(N)，存储节点颜色的数组需要 O(N) 的空间，并且在广度优先搜索的过程中，队列中最多有 N-1 个节点，需要 O(N) 的空间。