java矩阵连乘_算法设计与分析——矩阵连乘问题（动态规划）

一、问题描述

引出问题之前我们先来复习一下矩阵乘积的标准算法。

int ra,ca;//矩阵A的行数和列数

int rb,cb;//矩阵B的行数和列数

voidmatrixMultiply()

{for(int i=0;i

{for(int j=0;j

{int sun=0;for(int k=0;k<=ca;k++)

{

sum+=a[i][k]*b[k][j];

}

c[i][j]=sum;

}

给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2…，n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。例如，给定三个连乘矩阵{A1，A2，A3}的维数分别是10*100，100*5和5*50，采用(A1A2)A3，乘法次数为10*100*5+10*5*50=7500次，而采用A1(A2A3)，乘法次数为100*5*50+10*100*50=75000次乘法，显然，最好的次序是(A1A2)A3，乘法次数为7500次。

加括号的方式对计算量有很大的影响，于是自然地提出矩阵连乘的最优计算次序问题，即对于给定的相继n个矩阵，如何确定矩阵连乘的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。

二、问题分析

矩阵连乘也是Catalan数的一个常用的例子，关于时间复杂度的推算需要参考离散数学关于Catalan的内容。

下面考虑使用动态规划法解矩阵连乘积的最优计算次序问题。

1、分析最优解的结构

问题的最优子结构性质是该问题可以用动态规划求解的显著特征！！！

2、建立递归关系

3、计算最优值

public static void matrixChain(intn) {for (int i = 1; i <= n; i++) {

m[i][i]= 0;

}for (int r = 2; r <= n; r++) {//i与j的差值

for (int i = 1; i <= n - r + 1; i++) {int j = i + r - 1;

m[i][j]= m[i + 1][j] + p[i - 1] * p[i] *p[j];

s[i][j]=i;for (int k = i + 1; k < j; k++) {int t = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] *p[j];if (t

m[i][j]=t;

s[i][j]=k;

}

4、构造最优解

public static void traceback(int i, intj) {if (i ==j) {

System.out.printf("A%d", i); //输出是第几个数据

return;

}

System.out.printf("(");

traceback(i, s[i][j]);//递归下一个数据

System.out.printf(" x ");

traceback(s[i][j]+ 1, j);

System.out.printf(")");

}

三、总结

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