这个小系列的文章是笔者在学习微分方程的级数解的时候的（丢人）笔记。作为一名“优秀”的工科生，那些复杂而又看上去没什么用的定理证明过程就自然而然的被忽略掉了…

几乎每本书上都会说类似“能有初等解法的微分方程是很有限的^[1]”的话。如此说来，微分方程的级数解应该是比较重要的内容。但是在（我所见过的）国内出的教材里面，在微分方程的级数解这部分内容写得的确是难以下咽。

这个小系列的文章笔者笔记大多数内容来自《微分方程与边界值问题》（Differential Equations with Boundary-Value Problem. Dennnis G.Zill & Michael R. Cullen）还有部分内容来自《常微分方程学习辅导与习题解答》（朱思铭 编）以作为一点补充。

需要说明一下的是，这里的微分方程指的是常微分方程而非偏微分方程。级数自然指的是幂级数。并且本文讲述的都是二阶微分方程的级数解。

（并且我认为这个小系列里面我想写的重点是贝塞尔方程，其他的…都不是最重要）

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正文

在正式求级数解之前，还是先简洁地回顾一下比较重要的级数知识。

幂级数

这是相当于在点

收敛性

比值检验法：

当

当对幂级数用比值检验法时，可以求出幂级数的收敛区间，但不包括端点。端点需要单独代入幂级数内再用比值检验法检验是否收敛。

积分和求导

幂级数在收敛区间内可以逐次积分和求导。

积分和求导不包括端点处。端点处的收敛性可能会由于求导而发散或者由于积分而收敛。积分和求导之后的幂级数应当再次单独判断收敛性。

由于是关于微分方程的幂级数解法，那么只考虑幂级数求导的情况，而由于是二阶微分方程，则只考虑到二阶导数的情况。（而且是在

在

当幂级数不是从

合并幂级数

以例子说明：

例：

第一项级数从

由于

（之后的求导、合并幂级数等之类的简单操作将逐渐不会再写出来。具体的计算还请读者心算或者自己在草稿本上自己写一下。）

关于幂级数回顾的知识点就到这里。接下来是关于微分方程的级数解的一些基本的理论知识。（还没到求解…）

微分方程的平凡点与奇点

当然，还是关于二阶方程的。

对于：

方程两边除以

若

例：

例：

显然

幂级数解的存在性

又到了理论的地方了，但是这个倒是很简单，和泰勒展开的收敛半径别无二致。

若

两个以

至少在

可见，这个奇点是复平面的奇点。（很来就和泰勒级数是一样的嘛）

需要注意的是，这个定义域是“至少”。也就是说，定义域或许会超过这个范围。在后面可以看到，即使有奇点，但在一个平凡点展开的两个线性无关的解中，会出现有一其中个解的定义域是全体实数域的情况。（而另一个解在

求解微分方程

为简便起见，后面的求幂级数解都是在

求一个齐次线性二阶常微分方程的幂级数解的方法称为“待定级数系数法”。实际上就是将

实际上可以证明：

但是始终要注意，不要过分的追求幂级数里面的

例：

显然这个方程是无奇点的。那么可以在

令

左边=右边，且恒等于0，那么就一定得有各项都等于0。则有：

那根据这个递推公式列几项：

代回幂级数，则有：

合并

则有：

这就是微分方程关于平凡点的幂级数求解了。就这样看上去还是很简单的，无非就是：

代入化简

对比递推

合并得通解

但在某些操作上还需要一点技巧。以一个例子来说明：

例：

一样的， 令

对比系数就有：

从前面可以知道，

但是与前面不一样的是，这是三项递推关系。这就导致了每一项递推都会非常困难（读者不妨尝试去感受一下困难程度）。但是有如下技巧：

不妨先令

再令

这样就得到了两组“不一样的”

那么这样就先得到了两个解

看上去显然没有一个函数是另一个函数的常数倍，那么这两个函数是线性无关的。这样就可以得到：

这就是这一篇，关于平凡点的解，的全部内容了。若要回顾总结一下的话：

求解方法：

代入化简

对比递推

合并得通解

递推上的差别：

二项递推：直接代入递推，得到全部的

三项递推：假设某一项为零后代入，得到两组不同的

（不过可以猜想一下，若是n项递推是不是可以分别假设（n-1）项为零再代入呢？不过二阶微分方程看上去应该是不会有这种情况的了）

参考

1. ^王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程[M]北京：高等教育出版社，2006.07:72