不定积分常用公式（详解版）（持续更新中~）

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不定积分常用公式（简洁版）

正文

不定积分常用公式（详解版）（持续更新中~）
- 第一部分
- 第二部分
- 第三部分
- 第四部分
- 其他

第一部分

1.∫xkdx=1k+1xk+1+C,k≠−1;{∫1x2dx=−1x+C,∫1xdx=2x+C,1.\int{x^k\,dx}=\frac{1}{k+1}x^{k+1}+C, k\ne-1; \begin{cases} \int{\frac{1}{x^2}\,dx=-\frac{1}{x}+C},\\ \int{\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=2\sqrt{x}+C}, \\ \end{cases}1.∫xkdx=k+11xk+1+C,k=−1;{∫x21dx=−x1+C,∫x1dx=2x+C,

备注:右边两个例子比较常出现

2.∫1xdx=ln⁡∣x∣+C2.\int{\frac{1}{x}}\,dx=\ln{\mid{x}\mid}+C2.∫x1dx=ln∣x∣+C

备注:注意原函数包含绝对值；而原函数求导回去，对于对数求导法则，可视绝对值而不见

3.{∫exdx=ex+C;∫axdx=axln⁡a+C,a>0且a≠−13. \begin{cases} \int{e^x}\,dx=e^x+C;\\ \int{a^x}\,dx=\frac{a^x}{\ln{a}}+C,a>0且a\ne-1 \end{cases}3.{∫exdx=ex+C;∫axdx=lnaax+C,a>0且a=−1

第二部分

1.{∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C;∫cos⁡xdx=sin⁡x+C;1. \begin{cases} \int{\sin{x}\,dx}=-\cos{x}+C;\\ \int{\cos{x}\,dx}=\sin{x}+C; \end{cases}1.{∫sinxdx=−cosx+C;∫cosxdx=sinx+C;

2.{∫tan⁡xdx=−ln⁡∣cos⁡x∣+C;①∫cot⁡xdx=ln⁡∣sin⁡x∣+C;②2. \begin{cases} \int{\tan{x}\,dx}=-\ln{\mid{\cos{x}}\mid}+C;①\\ \int{\cot{x}\,dx}=\ln{\mid\sin{x}\mid}+C;② \end{cases}2.{∫tanxdx=−ln∣cosx∣+C;①∫cotxdx=ln∣sinx∣+C;②

备注:凑微分法

①过程：
∫tan⁡xdx=∫sin⁡xcos⁡xdx=∫1cos⁡xd(−cosx)=−ln⁡∣cos⁡x∣+C\int{\tan{x}\,dx}=\int{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}dx}=\int{\frac{1}{\cos{x}}d(-cos{x})}=-\ln{|\cos{x}|}+C ∫tanxdx=∫cosxsinxdx=∫cosx1d(−cosx)=−ln∣cosx∣+C
同理，②类似
②过程：
∫cot⁡xdx=∫cos⁡xsin⁡xdx=∫1sin⁡xd(sin⁡x)=ln⁡∣sin⁡x∣+C\int{\cot{x}\,dx}=\int{\frac{\cos{x}}{\sin{x}}dx}=\int{\frac{1}{\sin{x}}d(\sin{x})}=\ln{|\sin{x}|}+C ∫cotxdx=∫sinxcosxdx=∫sinx1d(sinx)=ln∣sinx∣+C

3.∫1cos⁡xdx=∫sec⁡xdx=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C;3. \int{\frac{1}{\cos{x}}dx}=\int{\sec{x}\,dx}=\ln{\mid\sec{x}+\tan{x}\mid}+C;3.∫cosx1dx=∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C;

较为通俗的解释：对原函数反求导回去

过程：
(ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣)′=sec⁡xtan⁡x+sec⁡2xsec⁡x+tan⁡x(\ln{\mid\sec{x}+\tan{x}\mid})'=\frac{\sec{x}\tan{x}+\sec^2{x}}{\sec{x}+\tan{x}}\\ (ln∣secx+tanx∣)′=secx+tanxsecxtanx+sec2x
分子提出公因式sec⁡x\sec{x}secx,得到：
原式=sec⁡x∗tan⁡x+sec⁡xsec⁡x+tan⁡x=sec⁡x原式=\sec{x}*\frac{\tan{x}+\sec{x}}{\sec{x}+\tan{x}}=\sec{x} 原式=secx∗secx+tanxtanx+secx=secx

得出结果后倒着来一遍就是对原函数的推导，同理，下面一个也是类似

4.∫1sin⁡xdx=∫csc⁡xdx=ln⁡∣csc⁡x−cot⁡x∣+C;4. \int{\frac{1}{\sin{x}}dx}=\int{\csc{x}\,dx}=\ln{\mid\csc{x}-\cot{x}\mid}+C;4.∫sinx1dx=∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+C;

与上一例同理，这里只做从原函数反推求导

过程：
(ln⁡∣csc⁡x−cot⁡x∣)′=−csc⁡xcot⁡x−csc⁡2xcsc⁡x−cot⁡x(\ln{\mid\csc{x}-\cot{x}\mid})'=-\frac{\csc{x}\cot{x}-\csc^2{x}}{\csc{x}-\cot{x}} (ln∣cscx−cotx∣)′=−cscx−cotxcscxcotx−csc2x
分子提出公因式csc⁡x\csc{x}cscx,得到：
原式=−csc⁡x∗cot⁡x−csc⁡xcsc⁡x−cot⁡x=csc⁡x原式=-\csc{x}*\frac{\cot{x}-\csc{x}}{\csc{x}-\cot{x}}=\csc{x} 原式=−cscx∗cscx−cotxcotx−cscx=cscx

5.{∫sec⁡2xdx=tan⁡x+C;(由tan⁡x的导数公式可得出)∫csc⁡2xdx=−cot⁡x+C;(由cot⁡x的导数公式可得出)5. \begin{cases} \int{\sec^2{x}dx}=\tan{x}+C;(由\tan{x}的导数公式可得出)\\ \int{\csc^2{x}dx}=-\cot{x}+C;(由\cot{x}的导数公式可得出) \end{cases}5.{∫sec2xdx=tanx+C;(由tanx的导数公式可得出)∫csc2xdx=−cotx+C;(由cotx的导数公式可得出)

6.{∫sec⁡xtan⁡xdx=sec⁡x+C;(由sec⁡x的导数公式可得出)∫csc⁡xcot⁡xdx=−csc⁡x+C;(由csc⁡x的导数公式可得出)6. \begin{cases} \int{\sec{x}\tan{x}dx}=\sec{x}+C;(由\sec{x}的导数公式可得出)\\ \int{\csc{x}\cot{x}dx}=-\csc{x}+C;(由\csc{x}的导数公式可得出) \end{cases}6.{∫secxtanxdx=secx+C;(由secx的导数公式可得出)∫cscxcotxdx=−cscx+C;(由cscx的导数公式可得出)

第三部分

1.{∫11+x2dx=arctan⁡x+C,①(由arctan⁡x的导数公式可得出)∫1a2+x2dx=1aarctan⁡xa+C(a>0)②(凑微分法，方法如下)1. \begin{cases} \int{\frac{1}{1+x^2}dx}=\arctan{x}+C,①(由\arctan{x}的导数公式可得出)\\ \int{\frac{1}{a^2+x^2}dx}=\frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}}+C(a>0)②(凑微分法，方法如下) \end{cases}1.{∫1+x21dx=arctanx+C,①(由arctanx的导数公式可得出)∫a2+x21dx=a1arctanax+C(a>0)②(凑微分法，方法如下)

过程：

∫1a2+x2dx=1a∫11+(xa)21adx=1a∫11+(xa)2d(xa)=1aarctan⁡xa+C\int{\frac{1}{a^2+x^2}dx}=\frac{1}{a}\int{\frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2}\frac{1}{a}dx}=\frac{1}{a}\int{\frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2}d(\frac{x}{a})}=\frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}}+C ∫a2+x21dx=a1∫1+(ax)21a1dx=a1∫1+(ax)21d(ax)=a1arctanax+C

2.{∫11−x2dx=arcsin⁡x+C,①(由arcsin⁡x的导数公式可得出)∫1a2−x2dx=1aarcsin⁡xa+C(a>0)②(凑微分法，方法同1)2. \begin{cases} \int{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx}=\arcsin{x}+C,①(由\arcsin{x}的导数公式可得出)\\ \int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx}=\frac{1}{a}\arcsin{\frac{x}{a}}+C(a>0)②(凑微分法，方法同1) \end{cases}2.{∫1−x21dx=arcsinx+C,①(由arcsinx的导数公式可得出)∫a2−x21dx=a1arcsinax+C(a>0)②(凑微分法，方法同1)

3.{∫1x2+a2dx=ln⁡(x+x2+a2)+C(常见a=1),①∫1x2−a2dx=ln⁡∣x+x2−a2∣+C(∣x∣>∣a∣).②3. \begin{cases} \int{\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx}=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C(常见a=1),①\\ \int{\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx}=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C(|x|>|a|).②\\ \end{cases}3.{∫x2+a21dx=ln(x+x2+a2)+C(常见a=1),①∫x2−a21dx=ln∣x+x2−a2∣+C(∣x∣>∣a∣).②

①证明：(换元法)
令x=atan⁡t,∣t∣<π2x=a\tan{t},|t|<\frac{\pi}{2}x=atant,∣t∣<2π,可得：
∫1x2+a2dx=∫1asec⁡td(atan⁡t)=∫sec⁡tdt=ln⁡∣sec⁡t+tan⁡t∣+C1\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx} =\int{\frac{1}{a\sec{t}}d(a\tan{t})} =\int{\sec{t}dt} =\ln{\mid\sec{t}+\tan{t}\mid}+C_1 ∫x2+a21dx=∫asect1d(atant)=∫sectdt=ln∣sect+tant∣+C1
将tan⁡t=xa回代\tan{t}=\frac{x}{a}回代tant=ax回代，得：
原式=ln⁡∣x2+a2a+xa∣+C1=ln⁡∣x2+a2+xa∣+C1=ln⁡∣x2+a2+x∣+C\\ 原式=\ln|\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}+\frac{x}{a}|+C_1=\ln|\frac{\sqrt{x^2+a^2}+x}{a}|+C_1=\ln|\sqrt{x^2+a^2}+x|+C 原式=ln∣ax2+a2+ax∣+C1=ln∣ax2+a2+x∣+C1=ln∣x2+a2+x∣+C

②同理证明：(换元法)
令x=asec⁡t,{若x>0,则0<t<π2,若x<0,则π2<t<π,x=a\sec{t}, \begin{cases} 若x>0,则0<t<\frac{\pi}{2},\\ 若x<0,则\frac{\pi}{2}<t<\pi, \end{cases}x=asect,{若x>0,则0<t<2π,若x<0,则2π<t<π,,可得：

∫1x2−a2dx=∫1atan⁡td(asec⁡t)=∫sec⁡tdt=ln⁡∣sec⁡t+tan⁡t∣+C1\int{\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx} =\int{\frac{1}{a\tan{t}}d(a\sec{t})} =\int{\sec{t}dt} =\ln{\mid\sec{t}+\tan{t}\mid}+C_1 ∫x2−a21dx=∫atant1d(asect)=∫sectdt=ln∣sect+tant∣+C1
将sec⁡t=xa回代\sec{t}=\frac{x}{a}回代sect=ax回代，得：
原式=ln⁡∣xa+x2−a2a∣+C1=ln⁡∣x+x2−a2a∣+C1=ln⁡∣x+x2−a2∣+C\\ 原式=\ln|\frac{x}{a}+\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}|+C_1=\ln|\frac{x+\sqrt{x^2-a^2}}{a}|+C_1=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C 原式=ln∣ax+ax2−a2∣+C1=ln∣ax+x2−a2∣+C1=ln∣x+x2−a2∣+C

第四部分

1.{∫1x2−a2dx=12aln⁡∣x−ax+a∣+C①∫1a2−x2dx=12aln⁡∣x+ax−a∣+C②1. \begin{cases} \int{\frac{1}{x^2-a^2}dx}=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C\,\,\,\,①\\ \int{\frac{1}{a^2-x^2}dx}=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x+a}{x-a}|+C\,\,\,\,② \end{cases}1.{∫x2−a21dx=2a1ln∣x+ax−a∣+C①∫a2−x21dx=2a1ln∣x−ax+a∣+C②

①证明：
∫1x2−a2dx=∫1(x+a)(x−a)dx=∫12a(1x−a−1x+a)dx=12a(∫1x−ad(x−a)−∫1x+ad(x+a))=12a(ln⁡∣x−ax+a∣)+C，\int{\frac{1}{x^2-a^2}dx}=\int{\frac{1}{(x+a)(x-a)}dx} =\int{\frac{1}{2a}(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a})dx} =\frac{1}{2a}(\int{\frac{1}{x-a}d(x-a)}-\int{\frac{1}{x+a}d(x+a)}) =\frac{1}{2a}(\ln{|\frac{x-a}{x+a}|})+C， ∫x2−a21dx=∫(x+a)(x−a)1dx=∫2a1(x−a1−x+a1)dx=2a1(∫x−a1d(x−a)−∫x+a1d(x+a))=2a1(ln∣x+ax−a∣)+C，

②证明：
∫1a2−x2dx=∫1(a+x)(a−x)dx=∫12a(1a−x+1a+x)dx=12a(−∫1a−xd(a−x)+∫1a+xd(a+x))=12a(ln⁡∣x+ax−a∣)+C，\int{\frac{1}{a^2-x^2}dx}=\int{\frac{1}{(a+x)(a-x)}dx} =\int{\frac{1}{2a}(\frac{1}{a-x}+\frac{1}{a+x})dx} =\frac{1}{2a}(-\int{\frac{1}{a-x}d(a-x)}+\int{\frac{1}{a+x}d(a+x)}) =\frac{1}{2a}(\ln{|\frac{x+a}{x-a}|})+C， ∫a2−x21dx=∫(a+x)(a−x)1dx=∫2a1(a−x1+a+x1)dx=2a1(−∫a−x1d(a−x)+∫a+x1d(a+x))=2a1(ln∣x−ax+a∣)+C，

2.∫a2−x2dx=a22arcsin⁡xa+x2a2−x2+C(a>∣x∣⩾0).2. \int{\sqrt{a^2-x^2}dx}=\frac{a^2}{2}\arcsin{\frac{x}{a}}+{\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C}(a>|x|\geqslant{0}).2.∫a2−x2dx=2a2arcsinax+2xa2−x2+C(a>∣x∣⩾0).

证明：(换元法)
令x=asin⁡t,∣t∣<π2x=a\sin{t},|t|<\frac{\pi}{2}x=asint,∣t∣<2π,可得：
∫a2−x2dx=∫acos⁡td(asin⁡t)=∫a2cos⁡2tdt=a2(t2+sin⁡2t4)\int{\sqrt{a^2-x^2}dx}=\int{a\cos{t}d(a\sin{t})}=\int{a^2\cos^2{t}dt}=a^2(\frac{t}{2}+\frac{\sin{2t}}{4}) ∫a2−x2dx=∫acostd(asint)=∫a2cos2tdt=a2(2t+4sin2t)
因为sin⁡(2t)=2sin⁡tcos⁡t,\sin{(2t)}=2\sin{t}\cos{t},sin(2t)=2sintcost,将sin⁡t=xa回代\sin{t}=\frac{x}{a}回代sint=ax回代，得：
原式=a2(12arcsin⁡xa+xa2−x22a2)=a22arcsin⁡xa+x2a2−x2+C\\ 原式=a^2(\frac{1}{2}\arcsin{\frac{x}{a}}+\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2a^2}) =\frac{a^2}{2}\arcsin{\frac{x}{a}}+{\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C} 原式=a2(21arcsinax+2a2xa2−x2)=2a2arcsinax+2xa2−x2+C

3.{∫sin⁡2xdx=x2−sin⁡2x4+C.(sin⁡2x=1−cos⁡2x2)∫cos⁡2xdx=x2+sin⁡2x4+C.(cos⁡2x=1+cos⁡2x2)∫tan⁡2xdx=tan⁡x−x+C.(tan⁡2x=sec⁡2x−1)∫cot⁡2xdx=−cot⁡x−x+C.(cot⁡2x=csc⁡2x−1)3. \begin{cases} \int{\sin^2{x}dx}=\frac{x}{2}-\frac{\sin{2x}}{4}+C.(\sin^2{x}=\frac{1-\cos{2x}}{2})\\ \int{\cos^2{x}dx}=\frac{x}{2}+\frac{\sin{2x}}{4}+C.(\cos^2{x}=\frac{1+\cos{2x}}{2})\\ \int{\tan^2{x}dx}=\tan{x}-x+C.(\tan^2{x}=\sec^2{x}-1)\\ \int{\cot^2{x}dx}=-\cot{x}-x+C.(\cot^2{x}=\csc^2{x}-1)\\ \end{cases}3.⎩⎨⎧∫sin2xdx=2x−4sin2x+C.(sin2x=21−cos2x)∫cos2xdx=2x+4sin2x+C.(cos2x=21+cos2x)∫tan2xdx=tanx−x+C.(tan2x=sec2x−1)∫cot2xdx=−cotx−x+C.(cot2x=csc2x−1)

其他

1.∫x21+x2dx=x−arctan⁡x+C1. \int{\frac{x^2}{1+x^2}dx}=x-\arctan{x}+C1.∫1+x2x2dx=x−arctanx+C

证明：
∫x21+x2dx=∫1+x2−11+x2dx=∫dx−∫11+x2dx=x−arctan⁡x+C\int{\frac{x^2}{1+x^2}dx}=\int{\frac{1+x^2-1}{1+x^2}dx}=\int{dx}-\int{\frac{1}{1+x^2}dx}=x-\arctan{x}+C ∫1+x2x2dx=∫1+x21+x2−1dx=∫dx−∫1+x21dx=x−arctanx+C

2.∫11+sin⁡xdx=tan⁡x−1cos⁡x+C2. \int{\frac{1}{1+\sin{x}}}dx=\tan{x}-\frac{1}{\cos{x}}+C2.∫1+sinx1dx=tanx−cosx1+C

证明：
分子分母同乘1−sin⁡x1-\sin{x}1−sinx,得
原式=∫1−sin⁡xcos⁡2xdx=∫1cos⁡2xdx−∫sin⁡xcos⁡2xdx=tan⁡x+(∫1cos⁡2xdcos⁡x)=tan⁡x−1cos⁡x+C原式=\int{\frac{1-\sin{x}}{\cos^2{x}}}dx=\int{\frac{1}{\cos^2{x}}}dx-\int{\frac{\sin{x}}{\cos^2{x}}}dx=\tan{x}+(\int{\frac{1}{\cos^2{x}}d\cos{x}})=\tan{x}-\frac{1}{\cos{x}}+C 原式=∫cos2x1−sinxdx=∫cos2x1dx−∫cos2xsinxdx=tanx+(∫cos2x1dcosx)=tanx−cosx1+C

3.∫a2+x2dx=12[xx2+a2+a2ln⁡∣a2+x2+xa∣+C]3. \int{\sqrt{a^2+x^2}}dx=\frac{1}{2}[x\sqrt{x^2+a^2}+a^2\ln|\frac{\sqrt{a^2+x^2}+x}{a}|+C]3.∫a2+x2dx=21[xx2+a2+a2ln∣aa2+x2+x∣+C]

证明：
令x=atan⁡t,(其中−π2<t<π2)令x=a\tan{t},(其中-\frac{\pi}{2}\lt{t}\lt{\frac{\pi}{2}})令x=atant,(其中−2π<t<2π)得

原式=∫a2+(atan⁡t)2d(atan⁡t)=a2∫sec⁡tdtan⁡t=a2[sec⁡ttan⁡t−∫tan⁡2tsec⁡tdt],原式=\int{\sqrt{a^2+(a\tan{t})^2}}d(a\tan{t})=a^2\int{\sec{t}}d\tan{t}=a^2[\sec{t}\tan{t}-\int{\tan^2{t}}\sec{t}dt],原式=∫a2+(atant)2d(atant)=a2∫sectdtant=a2[secttant−∫tan2tsectdt],
其中，∫tan⁡2tsec⁡tdt=∫(sec⁡2t−1)sec⁡tdt=∫sec⁡3tdt−∫sec⁡tdt其中，\int{\tan^2{t}}\sec{t}dt=\int{(\sec^2{t}-1)\sec{t}}dt=\int{\sec^3{t}dt}-\int{\sec{t}dt}其中，∫tan2tsectdt=∫(sec2t−1)sectdt=∫sec3tdt−∫sectdt

⇒原式:a2∫sec⁡3tdt=a2[sec⁡ttan⁡t−∫sec⁡3tdt+∫sec⁡tdt]\Rightarrow\,原式:a^2\int{\sec^3{t}dt}=a^2[\sec{t}\tan{t}-\int{\sec^3{t}dt}+\int{\sec{t}dt}]⇒原式:a2∫sec3tdt=a2[secttant−∫sec3tdt+∫sectdt]
⇒a2∫sec⁡3tdt=12a2[sec⁡ttan⁡t+∫sec⁡tdt]=12a2[sec⁡ttan⁡t+ln⁡∣sec⁡t+tan⁡t∣+C]\Rightarrow\,a^2\int{\sec^3{t}dt}=\frac{1}{2}a^2[\sec{t}\tan{t}+\int{\sec{t}dt}]=\frac{1}{2}a^2[\sec{t}\tan{t}+\ln|\sec{t}+\tan{t}|+C]⇒a2∫sec3tdt=21a2[secttant+∫sectdt]=21a2[secttant+ln∣sect+tant∣+C]
再将x=atan⁡t再将x=a\tan{t}再将x=atant带入得:
原式=12[xx2+a2+a2ln⁡∣a2+x2+xa∣+C]原式=\frac{1}{2}[x\sqrt{x^2+a^2}+a^2\ln|\frac{\sqrt{a^2+x^2}+x}{a}|+C] 原式=21[xx2+a2+a2ln∣aa2+x2+x∣+C]

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