线性代数 --- 向量空间（vector space）与子空间(subspace)

Part I --- 向量空间：

向量空间就是由包含n个分量的列向量所组成的Rn的空间，其中R表示实数。例如，R2就代表了一般的x-y平面，其中包含两个分量的向量表示坐标系中的一个点(x,y)。同理，R3中的一个向量，包含三个分量,可以表示三维坐标系中的一个点(x,y,z)。

也就是说，向量空间，它满足：

1，向量空间中任意两个向量a,b的和向量v,依然在向量空间内。

2，向量空间中的任意一个向量b与任何一个常数c的积c*b,也在向量空间内。

也就是，向量空间内的向量对向量之间的加法(a+b=c)和数乘(c*b=cb)是封闭的。或者说，对于所有在向量空间内的向量的任何形式的线性组合，都逃不出这些向量所在的线性空间的手掌心。（如下）

Part II --- 子空间：

我也不是太清楚，子空间究竟是怎么定义，我感觉子空间就是向量空间的一部分(希望有朝一日能够搞明白吧)。在我们中国，一般都是看到“子”了就会想到“母”。所以，我的理解就是，子空间就是向量空间（母空间）的一部分，但是这个部分不是随便划拉一部分就能被称为空间的。这个被划出来的空间，必须满足，他内部向量的线性组合的结果也在该空间内（有些数学书上叫封闭）。此外，因为要满足线性组合计算中的数乘（也就是上图中的ii），这个子空间必须包含对应维度的零向量。因为，他必须满足scalar c=0的情况，即cx = 0x = [0]。

下面是我自己早期的个人笔记，这是第一次学线性代数时的一个笔记，完全不懂，一脸懵逼，哈哈哈，致敬当年的那个什么都不懂的我。

对于一个4x3的矩阵，他的零空间N（A）是R3的子空间，因为，零空间是解的空间（笔者注：列空间是A中各列线性组合的空间），有多少个未知数x，就有几个分量，有几个分量就是几维。

(全文完)

作者 --- 松下J27

鸣谢：

1，linear algebra and its application - GILBERT STRANG

2，线性代数及其应用 - 侯自新，南开大学出版社，1990版

诗词摘抄：

<小重山>---岳飞,宋

昨夜寒蛩不住鸣。惊回千里梦，已三更。起来独自绕阶行。人悄悄，帘外月胧明。
白首为功名。旧山松竹老，阻归程。欲将心事付瑶琴。知音少，弦断有谁听？

(*配图与本文无关*)

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