算法图解——读书笔记06

广度优先搜索

首先，先介绍一下什么是图（它们不涉及X轴和Y轴），再介绍第一种图算法——广度优先搜素（breadth-frist search，BFS）。
广度优先搜素让你能够找出两样东西之间的最短距离，不过最短距离的含义有很多！使用广度优先搜索可以：
❑ 编写国际跳棋AI，计算最少走多少步就可获胜；
❑ 编写拼写检查器，计算最少编辑多少个地方就可将错拼的单词改成正确的单词，如将READED改为READER需要编辑一个地方；
❑ 根据你的人际关系网络找到关系最近的医生。

图简介
图是什么，图模拟一组连接。假如你与朋友玩牌，并要模拟谁欠谁钱，可像下面这样指出Alex欠Rama钱。

完整的欠钱图可能类似于下面这样。

Alex欠Rama钱，Tom欠Adit钱，等等。图由节点（node）和边（edge）组成。

就这么简单！图由节点和边组成。一个节点可能与众多节点直接相连，这些节点被称为邻居。。在前面的欠钱图中，Rama是Alex的邻居。Adit不是Alex的邻居，因为他们不直接相连。但Adit既是Rama的邻居，又是Tom的邻居。图用于模拟不同的东西是如何相连的。下面来看看广度优先搜索。

广度优先搜索
前面介绍了二分查找，广度优先搜索是一种用于图的查找算法，可帮助回答两类问题。
第一类问题：从节点A出发，有前往节点B的路径吗？
第二类问题：从节点A出发，前往节点B的那条路径最短？

假设你经营着一个芒果农场，需要寻找芒果销售商，以便将芒果卖给他。在Facebook，你与芒果销售商有联系吗？为此，你可在朋友中查找。

这种查找很简单。首先，创建一个朋友名单。

然后，依次检查名单中的每个人，看看他是否是芒果销售商。

假设你没有朋友是芒果销售商，那么你就必须在朋友的朋友中查找。

检查名单中的每个人时，你都将其朋友加入名单。

这样一来，你不仅在朋友中查找，还在朋友的朋友中查找。别忘了，你的目标是在你的人际关系网中找到一位芒果销售商，因此，如果Alice不是芒果销售商，就将其朋友也加入到名单中。这意味着你将在她的朋友、朋友的朋友等中查找。使用这种算法将搜遍你的整个人际关系网，直到找到芒果销售商。这就是广度优先搜索算法。

查找最短路径
再说一次，广度优先搜索可回答两类问题。
第一类问题：从节点A出发，有前往节点B的路径吗？（在你的人际关系网中，有芒果销售商吗？）
第二类问题：从节点A出发，前往节点B的哪条路径最短？（哪个芒果销售商与你的关系最近？）
刚才你看到了如何回答第一类问题，下面来尝试回答第二类问题——谁是关系最近的芒果销售商。例如，朋友是一度关系，朋友的朋友是二度关系。

在你看来，一度关系胜过二度关系，二度关系胜过三度关系，以此类推。因此，你应先在一度关系中搜索，确定其中没有芒果销售商后，才在二度关系中搜索。广度优先搜索就是这样做的！在广度优先搜索的执行过程中，搜索范围从起点开始逐渐向外延伸，即先检查一度关系，再检查二度关系。

你也可以这样看，一度关系在二度关系之前加入查找名单。你按顺序依次检查名单中的每个人，看看他是否是芒果销售商。这将先在一度关系中查找，再在二度关系中查找，因此找到的是关系最近的芒果销售商。广度优先搜索不仅查找从A到B的路径，而且找到的是最短的路径。

注意，只有按添加顺序查找时，才能实现这样的目的。换句话说，如果Claire先于Anuj加入名单，就需要先检查Claire，再检查Anuj。
如果Claire和Anuj都是芒果销售商，而你先检查Anuj再检查Claire，结果将如何呢？找到的芒果销售商并非是与你关系最近的，因为Anuj是你朋友的朋友，而Claire是你的朋友。因此，你需要按添加顺序进行检查。

有一个可实现这种目的的数据结构，那就是队列（queue）。

队列
　队列的工作原理与现实生活中的队列完全相同。假设你与朋友一起在公交车站排队，如果你排在他前面，你将先上车。队列的工作原理与此相同。队列类似于栈，你不能随机地访问队列中的元素。队列只支持两种操作：入队和出队。
　

如果你将两个元素加入队列，先加入的元素将在后加入的元素之前出队。因此，你可使用队列来表示查找名单！这样，先加入的人将先出队并先被检查。队列是一种先进先出（First In First Out，FIFO）的数据结构，而栈是一种后进先出（Last In First Out，LIFO）的数据结构。

实现算法
先概述一下这种算法的工作原理。

小结：

广度优先搜索指出是否有从A到B的路径。
如果有，广度优先搜索将找出最短路径。
面临类似于寻找最短路径的问题时，可尝试使用图来建立模型，再使用广度优先搜索来解决问题。
有向图中的边为箭头，箭头的方向指定了关系的方向，例如，rama→adit表示rama欠adit钱。
无向图中的边不带箭头，其中的关系是双向的，例如，ross - rachel表示“ross与rachel约会，而rachel也与ross约会”。
队列是先进先出（FIFO）的。
栈是后进先出（LIFO）的。
你需要按加入顺序检查搜索列表中的人，否则找到的就不是最短路径，因此搜索列表必须是队列。
对于检查过的人，务必不要再去检查，否则可能导致无限循环。

狄克斯特拉算法
继续图的讨论，介绍加权图——提高或降低某些边的权重。介绍狄克斯特拉算法，让你能够找出加权图中前往X的最短路径。介绍图中的环，它导致狄克斯特拉算法不管用。在前一章，你找出了从A点到B点的路径。

这是最短路径，因为段数最少——只有三段，但不一定是最快路径。如果给这些路段加上时间，你将发现有更快的路径。

x下面来看看如何对下面的图使用这种算法。

其中每个数字表示的都是时间，单位分钟。为找出从起点到终点耗时最短的路径，你将使用狄克斯他拉算法。
如果你是用广度优先搜索，将得到下面这条段数最少的路径。

这条路径耗时7分钟。下面来看看能否找到耗时更短的路径！
狄克斯特拉算法包含4个步骤。
(1) 找出“最便宜”的节点，即可在最短时间内到达的节点。
(2) 更新该节点的邻居的开销，其含义将稍后介绍。
(3) 重复这个过程，直到对图中的每个节点都这样做了。
(4) 计算最终路径。

第一步：找出最便宜的节点。你站在起点，不知道该前往节点A还是前往节点B。前往这两个节点都要多长时间呢？

前往节点A需要6分钟，而前往节点B需要2分钟。至于前往其他节点，你还不知道需要多长时间。

由于你还不知道前往终点需要多长时间，因此你假设为无穷大（这样做的原因你马上就会明白）。节点B是最近的——2分钟就能达到。
第二步：计算经节点B前往其各个邻居所需的时间。

你刚找到了一条前往节点A的更短路径！直接前往节点A需要6分钟。

对于节点B的邻居，如果找到前往它的更短路径，就更新其开销。在这里，你找到了：
前往节点A的更短路径（时间从6分钟缩短到5分钟）；
前往终点的更短路径（时间从无穷大缩短到7分钟）。
第三步：重复！
重复第一步：找出可在最短时间内前往的节点。你对节点B执行了第二步，除节点B外，可在最短时间内前往的节点是节点A。

重复第二步：更新节点A的所有邻居的开销。

你发现前往终点的时间为6分钟！
你对每个节点都运行了狄克斯特拉算法（无需对终点这样做）。现在，你知道：
前往节点B需要2分钟；
前往节点A需要5分钟；
前往终点需要6分钟。

术语
介绍其他狄克斯特拉算法使用示例前，先来澄清一些术语。狄克斯特拉算法用于每条边都有关联数字的图，这些数字称为权重（weight）。

带权重的图称为加权图（weighted graph），不带权重的图称为非加权图（unweighted graph）。

要计算非加权图中的最短路径，可使用广度优先搜索。
要计算加权图中的最短路径，可使用狄克斯特拉算法。图还可能有环，而环类似右面这样。

无向图意味着两个节点彼此指向对方，其实就是环！

在无向图中，每条边都是一个环。狄克斯特拉算法只适用于有向无环图（directed acyclic graph，DAG）。

术语介绍得差不多了，我们再来看一个例子！这是Rama，想拿一本乐谱换架钢琴。

Alex说：“这是我最喜欢的乐队Destroyer的海报，我愿意拿它换你的乐谱。
如果你再加5美元，还可拿乐谱换我这张稀有的Rick Astley黑胶唱片。”
Amy说：“哇，我听说这张黑胶唱片里有首非常好听的歌曲，我愿意拿我的吉他和架子鼓换这张海报和黑胶唱片。”
Beethoven惊呼：“我一直想要吉他，我愿意拿我的钢琴换Amy的吉他或架子鼓。”
太好了！只要再花一点点钱，Rama就能拿乐谱换架钢琴。现在他需要确定的是，如何花最少的钱实现这个目标。我们来绘制一个图，列出大家的交换意愿。

这个图中的节点是大家愿意拿出来交换的东西，边的权重是交换时需要额外加多少钱。拿海报换吉他需要额外加30美元，拿黑胶唱片换吉他需要额外加15美元。Rama需要确定采用哪种路径将乐谱换成钢琴时需要支付的额外费用最少。为此，可以使用狄克斯特拉算法！别忘了，狄克斯特拉算法包含四个步骤。在这个示例中，你将完成所有这些步骤，因此你也将计算最终路径。动手之前，你需要做些准备工作：创建一个表格，在其中列出每个节点的开销。这里的开销指的是达到节点需要额外支付多少钱。

在执行狄克斯特拉算法的过程中，你将不断更新这个表。为计算最终路径，还需在这个表中添加表示父节点的列。

这列的作用将稍后介绍。我们开始执行算法吧。
第一步：
找出最便宜的节点。在这里，换海报最便宜，不需要支付额外的费用。还有更便宜的换海报的途径吗？这一点非常重要，你一定要想一想。Rama能够通过一系列交换得到海报，还能额外得到钱吗？想清楚后接着往下读。答案是不能，因为海报是Rama能够到达的最便宜的节点，没法再便宜了。下面提供了另一种思考角度。假设你要从家里去单位。

如果你走经过学校的路，到学校需要2分钟。如果你走经过停车场的路，到停车场需要6分钟。如果经停车场前往学校，能不能将时间缩短到少于2分钟呢？不可能，因为只前往停车场就需要6分钟。另一方面，有没有能更快到达停车场的路呢？有。

这就是狄克斯特拉算法背后的关键理念：
找出图中最便宜的节点，并确保没有到该节点的更便宜的路径！回到换钢琴的例子。换海报需要支付的额外费用最少。
第二步：
计算前往该节点的各个邻居的开销。

现在的表中包含低音吉他和架子鼓的开销。这些开销是用海报交换它们时需要支付的额外费用，因此父节点为海报。这意味着，要到达低音吉他，需要沿从海报出发的边前行，对架子鼓来说亦如此。

再次执行第一步：下一个最便宜的节点是黑胶唱片——需要额外支付5美元。
再次执行第二步：更新黑胶唱片的各个邻居的开销。

你更新了架子鼓和吉他的开销！这意味着经“黑胶唱片”前往“架子鼓”和“吉他”的开销更低，因此你将这些乐器的父节点改为黑胶唱片。下一个最便宜的是吉他，因此更新其邻居的开销。

你终于计算出了用吉他换钢琴的开销，于是你将其父节点设置为吉他。最后，对最后一个节点——架子鼓，做同样的处理。

如果用架子鼓换钢琴，Rama需要额外支付的费用更少。因此，采用最便宜的交换路径时，Rama需要额外支付35美元。现在来兑现前面的承诺，确定最终的路径。当前，我们知道最短路径的开销为35美元，但如何确定这条路径呢？为此，先找出钢琴的父节点。

钢琴的父节点为架子鼓，这意味着Rama需要用架子鼓来换钢琴。因此你就沿着这一边。

我们来看看需要沿哪些边前行。钢琴的父节点为架子鼓。

架子鼓的父节点为黑胶唱片。

因此Rama需要用黑胶唱片了换架子鼓。显然，他需要用乐谱来换黑胶唱片。通过沿父节点回溯，便得到了完整的交换路径。

小结：

广度优先搜索用于在非加权图中查找最短路径。
狄克斯特拉算法用于在加权图中查找最短路径。
仅当权重为正时狄克斯特拉算法才管用。
如果图中包含负权边，请使用贝尔曼-福德算法。

算法图解——读书笔记06相关推荐

算法图解读书笔记：附程序
算法图解通俗易懂,下面是随书练习程序,基于python3 二分法 #二分法 def binary_search(list, item):low = 0high = len(list)-1while l ...
算法图解读书笔记（上）
最近看了一本算法入门书--算法图解. 封面的插画很好玩儿.最吸引我的还是封面里的一句话:向小说一样有趣的算法入门书. 上个封面,大家感受一下: 一.算法简介 1.1 二分查找一个有序数组中找一个数的 ...
强化学习读书笔记 - 06~07 - 时序差分学习(Temporal-Difference Learning)
强化学习读书笔记 - 06~07 - 时序差分学习(Temporal-Difference Learning) 学习笔记: Reinforcement Learning: An Introductio ...
推荐系统实践读书笔记-06利用社交网络数据
推荐系统实践读书笔记-06利用社交网络数据自从搜索引擎谷歌诞生后,大家都在讨论互联网的下一个金矿是什么.现在,几乎所有的人都认为那就是社交网络.根据尼尔森2010年的报告,用户在互联网上22%的时间 ...
数据之道读书笔记-06面向“自助消费”的数据服务建设
数据之道读书笔记-06面向"自助消费"的数据服务建设数据底座建设的目标是更好地支撑数据消费,在完成数据的汇聚.整合.联接之后,还需要在供应侧确保用户更便捷.更安全地获取数据.一方 ...
《Java8实战》读书笔记06：Parallel Stream 并行流
<Java8实战>读书笔记06:Parallel Stream 并行流第7章并行数据处理与性能 7.1 并行流 7.1.1 将顺序流转换为并行流 7.1.2 测量流性能 7.1.3 正 ...
算法导论读书笔记（8）
算法导论读书笔记(8) 目录计数排序计数排序的简单Java实现基数排序基数排序的简单Java实现桶排序计数排序计数排序假设 n 个输入元素中的每一个都是介于0到 k 之间的整数,此处 ...
算法导论读书笔记（7）
算法导论读书笔记(7) 目录快速排序快速排序的简单Java实现快速排序的性能最坏情况划分最佳情况划分快速排序的随机化版本比较排序快速排序快速排序是一种原地排序算法,对包含 n 个数的 ...
《漫画算法》读书笔记
<漫画算法>读书笔记在图书馆借阅算法书时,看到了一本非常吸引我的算法书--<漫画算法>.算法还能以漫画的方式展示出来吗?我带着我的疑惑翻开了这本书,里面的语言非常接地气,通俗 ...

算法图解——读书笔记06

广度优先搜索

算法图解——读书笔记06相关推荐

最新文章

热门文章