边际效用递减规律，真用起来，还挺多坑
边际效应递减规律，law of diminishing marginal utility，是经济学的一个重要规律。这里引用《经济学-萨缪尔森》著作中对该规律的定义：随着个人消费越来越多的某种物品，他从中得到的新增的或边际的效用量是下降的。书中给了一个规律应用的例子：
为了加深理解，我在网上又找了另外两个实例。第一个是吃馒头的例子：对于一个需要4个馒头才能吃饱的人来讲，吃第一个馒头可以使他直接缓解饥饿感，因而其边际效用是最大的，吃第二个、第三个馒头的边际效用依次递减；到吃第四个馒头时，他已八九分饱，几乎是可吃可不吃的了，故边际效用最小；等吃到第五个时，馒头就有可能产生负效用。第二个是考试的例子：学习0天，考0分；学习1天，考36分；学习2天，考64分；学习3天，考84分；学习4天，考96分；学习5天，考100分。
听起来，这规律还牛X的，普适性很强。但是能应用在哪些工程问题上呢？自己理解了一下，如果已经有了部分点对数据 ( Q i , U i ) (Q_i,U_i) (Qi,Ui)后，那么可以通过这个规律去预估任意消费量 Q k Q_k Qk对应的效用值 U k U_k Uk、以及最大效用值 U max U_{\text{max}} Umax。
先拿考试的那个例子来试试。如果在学习上花3天半的时间，能考多少分呢？第1天边际效用（增加的分数）为36，第2天为28，第3天为20，第4天为12，第5天为4。即每过一天，边际效用降低8，如果有3天半的学习时间，应该是84+12/2=90。最大效用值更简单了，就是满分100分。看起来好简单啊，可实际情况中，会是这样么？
上过大学的人一定都知道最后一两节课的重要性，因为老师会给大家划重点，提升课程通过率。只要能学习1个单位时间，把重点内容准备好，基本都能通过考试，即分数高于60分。但如果要继续提升成绩，就需要明显增加学习时间，而到了5个学习时间以后，即使再增加学习时间，分数也不一定能达到100分，因为到了那个阶段，除了知识掌握的扎实程度，考试分数还会和一些其他因素相关，比如细心程度。基于这个实际情况，考试分数和学习时间的关系更可能是如下的图。即：2-5个单位时间内，考试分数和学习时间的关系是符合边际效用递减规律的；1个单位时间内，有老师划的重点，因此会出现考试分数的明显跃升；5个单位时间后，掌握的新知识量几乎不增加，分数的变化因素不再是时间。
关于最大效用值，在实际应用时，也经常有数值未知的情况。比如公司在某个区域的销售价值上限是多少？线上电商占据总电商份额的最大比例是多少？国家GDP的上限值是多少？如果基于已有数据去预测，我们如何知道数据是在1个单位内、2-5个单位内、亦或是5个单位以上了呢？
所以，边际效用递减规律虽然普适性挺好，但是真正要量化的时候，还是会遇到很多挑战，想要用好规律，还是需要研究清楚问题的本质，搞明白符合规律的边界范围。
如果把规律放到数学模型中，它其实可以理解为机器学习的一种特殊类型，就像线性模型一样。只不过它给出的变化率是逐渐递减的，而线性模型是不变的。那是不是可以直接用现有的机器学习模型，而放弃边际效用递减规律呢？目前来看，好像也不太行。机器学习模型需要先有训练集，如果要预测的是最大效用值，可能我们连这个值的真值都拿不到，又谈何训练呢？而且，边际效用递减规律的可解释性明显强于大部分机器学习算法，在工程落地上，也具有明显优势。
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