洛谷P1993 小K的农场（差分约束）

【题目描述】
小K在MC里面建立很多很多的农场，总共 n n n个，以至于他自己都忘记了每个农场中种植作物的具体数量了，他只记得一些含糊的信息（共 m m m个），以下列三种形式描述：

农场 a a a比农场 b b b至少多种植了 c c c个单位的作物；
农场 a a a比农场 b b b至多多种植了 c c c个单位的作物；
农场 a a a与农场 b b b种植的作物数一样多。

但是，由于小K的记忆有些偏差，所以他想要知道存不存在一种情况，使得农场的种植作物数量与他记忆中的所有信息吻合。

【输入格式】
第一行包括两个整数 n n n和 m m m，分别表示农场数目和小K记忆中的信息数目。
接下来 m m m行：

如果每行的第一个数是 1 1 1，接下来有三个整数 a , b , c a,b,c a,b,c，表示农场 a a a比农场 b b b至少多种植了 c c c个单位的作物；
如果每行的第一个数是 2 2 2，接下来有三个整数 a , b , c a,b,c a,b,c，表示农场 a a a比农场 b b b至多多种植了 c c c个单位的作物;
如果每行的第一个数是 3 3 3，接下来有两个整数 a , b a,b a,b，表示农场 a a a种植的的数量和 b b b一样多。

【输出格式】
如果存在某种情况与小K的记忆吻合，输出Yes，否则输出No。

【数据范围】
1 ≤ n , m , a , b , c ≤ 5 × 1 0 3 1 \le n,m,a,b,c \le 5 \times 10^3 1≤n,m,a,b,c≤5×103

【输入样例】

【输出样例】

Yes

【分析】

将题目所给的三种情况用以下不等式表示：

a − b ≥ c ⟺ a ≥ b + c a-b\ge c\iff a\ge b+c a−b≥c⟺a≥b+c，即 a d d ( b , a , c ) add(b,a,c) add(b,a,c)
a − b ≤ c ⟺ b ≥ a − c a-b\le c\iff b\ge a-c a−b≤c⟺b≥a−c，即 a d d ( a , b , − c ) add(a,b,-c) add(a,b,−c)
a = b ⟺ a ≥ b , b ≥ a a=b\iff a\ge b,b\ge a a=b⟺a≥b,b≥a，即 a d d ( a , b , 0 ) , a d d ( b , a , 0 ) add(a,b,0),add(b,a,0) add(a,b,0),add(b,a,0)

每个农场的作物不会为负数个，即 x i ≥ 0 x_i\ge 0 xi≥0。我们建立虚拟源点 x 0 = 0 x_0=0 x0=0，则 x i ≥ x 0 + 0 x_i\ge x_0+0 xi≥x0+0，即 a d d ( 0 , x i , 0 ) add(0,x_i,0) add(0,xi,0)。而且观察到虚拟源点可以走到其它任意一点，因此满足差分约束条件，对于本题，我们只需要判断是否存在正环即可。

【代码】

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;const int N = 5010, M = 15010;
int e[M], ne[M], d[M], h[N], idx;
int dis[N], cnt[N];
bool st[N];
int n, m;void add(int u, int v, int w)
{e[idx] = v, d[idx] = w, ne[idx] = h[u], h[u] = idx++;
}bool spfa(int s)
{memset(dis, 0x8f, sizeof dis);queue<int> Q;Q.push(s);dis[s] = 0;st[s] = true;while (Q.size()){int t = Q.front();Q.pop();st[t] = false;for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])if (dis[t] + d[i] > dis[e[i]]){dis[e[i]] = dis[t] + d[i];cnt[e[i]] = cnt[t] + 1;if (cnt[e[i]] >= n + 1) return true;//存在正环if (!st[e[i]]) Q.push(e[i]), st[e[i]] = true;}}return false;
}int main()
{cin >> n >> m;memset(h, -1, sizeof h);for (int i = 1; i <= n; i++) add(0, i, 0);//i >= 0 -> x0 + 0 <= iwhile (m--){int op, a, b, c;cin >> op >> a >> b;if (op == 1) { cin >> c; add(b, a, c); }//a - b >= celse if (op == 2) { cin >> c; add(a, b, -c); }//a - b <= celse add(b, a, 0), add(a, b, 0);// a == b -> a >= b && a <= b}if (spfa(0)) puts("No");else puts("Yes");return 0;
}

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