【小算法】求约数个数

约数个数及证明

从小学数学开始？
什么是约数：如果一个整数能被两个整数整除，那么这两个数是这个数的约数。

一个数的约数的个数=这个数的所有质因子的次数+1的乘积。

例如：48=2^4*3
48的约数的个数=（4+1）*（1+1）=10

证明：（来自权限chairman）

2^0*3^0
2^0*3^1
2^0*3^2
……
2^1*3^0
2^1*3^1
……
2^2*3^0
……
2^x*3^0
……
2^x*3^y
举个栗子：
6
2^0 3^0
2^0 3^1
2^1 3^0
2^1 3^1
——>4
10(2^1*5^1)
2^0 5^0
2^0 5^1
2^1 5^0
2^1 5^1
——>4
12(2^2*3^1)
2^0 3^0
2^0 3^1
2^1 3^0
2^1 3^1
2^2 3^0
2^2 3^1
——>6
根据乘法原理 2一共有x+1个幂 3有y+1个幂所以就是(x+1)*(y+1)个因子

根据唯一分解定理可知，每个大于1的数一定可以以唯一的方式被分解为若干个素数的乘积。
通过计算发现一个2000000000以内的数字不会有超过12个素因子，数据范围更大的话可以再乘。
计算某个数的约数个数时，先打表预处理出从2开始的12个素数，然后一直除。
以下代码只体现性质，实际处理质因子次数时好像可以用筛法快速解决。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=101;
struct node
{int a,k;
}s[maxn];
int n,ans=1;
int main()
{scanf("%d",&n);s[1].a=2,s[2].a=3,s[3].a=5,s[4].a=7,s[5].a=11,s[6].a=13,s[7].a=17,s[8].a=19,s[9].a=23,s[10].a=29,s[11].a=31,s[12].a=37;int x=n;for(int i=1;i<=x;i++){while(x%s[i].a==0){s[i].k++;x/=s[i].a;}}for(int i=1;i<=n;i++){ans*=s[i].k+1;}cout<<ans<<'\n';return 0;
}

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