GAN相关论文《Spectral Regularization for Combating Mode Collapse in GANs》

ICCV 2019的一篇论文，作者在出名的SN-GAN上进行改进。
SN-GAN介绍应该还是挺多的，随便找一篇https://zhuanlan.zhihu.com/p/65549312
谱归一化约束，通过约束 GAN 的 Discriminator 的每一层网络的权重矩阵(weight matrix)的谱范数来约束 Discriminator 的 Lipschitz 常数，从而增强 GAN 在训练过程中的稳定性。
这篇文章呢，作者自称叫做SR-GAN，Spectrual Regularization 谱正则化。
作者发现一个现象，就是如果没有mode collapse的时候，W‾SN(W)\overline{W}_{SN}(W)WSN(W)的大量的奇异值都接近于1，其中W‾SN(W)\overline{W}_{SN}(W)WSN(W)是谱归一化的权重矩阵;
在出现mode collapse的时候，权重矩阵的奇异值drop的很快，作者称这种现象为spectrual collapse(谱崩溃)。作者认为，只要spectrual collapse解决了，mode collapse就会一定程度的解决。

SN-GAN的谱归一化:W‾SN(W):=W/σ(W)\overline{W}_{SN}(W):=W/\sigma(W)WSN(W):=W/σ(W),
σ(W)\sigma(W)σ(W)是权重W的奇异值的最大值。
SN-GAN通过这种方式来约束Lipschitz常数。原文中也证明了优于其他的normalization或者regularization的方法，比如gradient penalty、weight normalization和正交正则化等等。
注意：本论文关于spectrual collapse是作者在实验中观察得到的现象！
正如SN-GAN和BigGAN等类似的论文发现的，batch大小增加或者D网络的channel减小，都会导致mode collapse。因此本文中设置了若干种对照组，分别有不同的batch和channel。

如图所示，spectrual collapse的时候，奇异值会drop的很严重。

Spectrual Regularization

首先进行奇异值分解，权重矩阵W可以分解为W=U⋅Σ⋅VTW=U\cdot\Sigma\cdot V^TW=U⋅Σ⋅VT
其中的UUU和VVV都是正交矩阵，UUU, [u1,u2,⋅⋅⋅,um],[u_1, u_2, · · · , u_m],[u1,u2,⋅⋅⋅,um], 被称为W矩阵的左奇异向量，VVV,[v1,v2,⋅⋅⋅,vn][v_1, v_2, · · · , v_n][v1,v2,⋅⋅⋅,vn]被称为W矩阵的右奇异向量。
Σ\SigmaΣ可被表示为
Σ=[D000]\Sigma= \begin{bmatrix} D & 0\\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}Σ=[D000]
其中的D=diag{σ1,σ2,...,σr}D=diag \{\sigma_1,\sigma_2,...,\sigma_r \}D=diag{σ1,σ2,...,σr}代表着权重矩阵W的谱分布。
当出现mode collapse时，谱分布专注于最大的奇异值，而其他的奇异值drop的比较快。
为了避免spectrual collapse，SR-GAN设计了一个ΔD\Delta DΔD用于补偿D，ΔD=diag{σ1−σ1,σ1−σ2,...,σ1−σi,0,...,0}\Delta D=diag\{\sigma_1-\sigma_1,\sigma_1-\sigma_2,...,\sigma_1-\sigma_i , 0,...,0\}ΔD=diag{σ1−σ1,σ1−σ2,...,σ1−σi,0,...,0},其中iii是一个需要自己设定的超参数。
则DDD会变成D′=D+ΔD=diag{σ1,σ1,...,σ1,σi+1,...,σr}D' = D+\Delta D=diag \{\sigma_1,\sigma_1,...,\sigma_1, \sigma_{i+1},...,\sigma_{r}\}D′=D+ΔD=diag{σ1,σ1,...,σ1,σi+1,...,σr}
从而ΔW=U⋅[ΔD000]⋅VT=∑k=2i(σ1−σk)ukvkT\Delta W=U\cdot\begin{bmatrix} \Delta D & 0\\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\cdot V^T=\sum_{k=2}^i(\sigma_1-\sigma_k)u_kv_k^TΔW=U⋅[ΔD000]⋅VT=k=2∑i(σ1−σk)ukvkT
从而获得谱正则化的结果W‾SR(W)=W+ΔWσ(W)=W‾SN(W)+ΔWσ(W)\overline{W}_{SR}(W)=\frac{W+\Delta W}{\sigma(W)}=\overline{W}_{SN}(W)+\frac{\Delta W}{\sigma(W)}WSR(W)=σ(W)W+ΔW=WSN(W)+σ(W)ΔW

当i=1时，ΔW=0\Delta W=0ΔW=0,SN-GAN就成为SR-GAN的一种特殊的形式。
后面还有理论分析和超参选择什么的，不写了，有空再说。
源码：
https://github.com/max-liu-112/SRGANs-Spectral-Regularization-GANs-
补充：
https://github.com/Hhhhhhhhhhao/Paper-Notes/blob/7025aa2c976c3e351aac12b8a7bf9324cffba657/Spectral-Regularization-for-Combating-Mode-Collapse-in-GANs/SRGAN.md
写的不错。

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