素数

素数又称质数，是除了1和本身之外不能被其他数整除的一类数字。用数学语言描述即是，对给定的正整数n，如果对于任意的正整数a（1<a<n），都有n%a!=0成立，那么称n是素数；否则称为合数。
注：1 既不是素数也不是合数。

素数的判断

一个整数n如果不能被2,3,...,n-1整除，那么n为素数。使用遍历的方法判断，时间复杂度为O(n)。但在某些数据量大的题目中，该复杂度实际有点大，需要更快的方法。
注意到：如果在2~n-1中存在n的约数，设为k，即n%k==0，那么由k*(n/k)==n可知，n/k也是n的一个约数。且k与n/k中一定满足其中一个小于等于sqrt(n)，另一个大于等于sqrt(n)。因此只需判断n能否被2，3，...，sqrt(n)中的一个整除，即可判断是否为素数。该算法时间复杂度为O(sqrt(n))。

代码如下：

bool is_prime(int n) {if (n <= 1) {return false;} else {for (int i = 2; i * i <= n; i++) {if (n % i == 0) return false;}return true;}
}

素数表的获取

通过判断是否为素数，可以直接得出1~n范围内的所有素数，即从1~n开始枚举，如果是素数就加入素数表。枚举时间复杂度为O(n)，判断是否为素数时间复杂度为O(sqrt(n))，总的时间复杂度为O(n*sqrt(n))。

求100以内的素数表
代码如下：


int prime[MAXN], p_num = 0; //prime存放所有的素数，p_num为素数的个数
bool p[MAXN] = {0};    //p[i]==ture即为素数
void find_prime() {for (int i = 1; i < MAXN; i++) {if (is_prime(i)) {prime[p_num++] = i;p[i] = true;}}
}

完整的代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int MAXN = 101;
bool is_prime(int n) {if (n <= 1) {return false;} else {for (int i = 2; i * i <= n; i++) {if (n % i == 0) return false;}return true;}
}int prime[MAXN], p_num = 0;  // prime存放所有的素数，p_num为素数的个数
bool p[MAXN] = {0};          // p[i]==ture即为素数
void find_prime() {for (int i = 1; i < MAXN; i++) {if (is_prime(i) == true) {prime[p_num++] = i;p[i] = true;}}
}int main() {find_prime();for (int i = 0; i < p_num; i++) {printf("%d", prime[i]);}return 0;
}

埃氏筛法（Eratosthenes）

上述的算法对于10^5级别的都可以承受，但如果数字范围更大，那么将会崩溃。使用埃氏筛法时间复杂度可低至O(nloglogn)。该算法从小到大枚举所有的数，对每一个素数，筛去它的所有倍数，剩下的都是素数了。

举例子说明：求1~15所有的素数。
①2是素数（唯一需要事先确定的），因此筛去所有2的倍数，即{4，6，8，10，12，14}，剩{2，3，5，7，9，11，13，15}。
②3没有被筛去，因此3是素数，筛去3所有的倍数，即{6，9，12，15}，剩{2，3，5，7，11，13}。
③4已经被筛去，因此4不是素数。
④5没有被筛，因此5是素数，筛去所有5的倍数，即{10，15}，剩{2，3，5，7，11，13}。
⑤6已经被筛去，因此6不是素数。
⑥7没有被筛去，因此7是素数，筛去所有7的倍数，即{14}，剩{2，3，5，7，11，13}。

以此类推…
最终得到所有素数，即{2，3，5，7，11，13}。
由例子可以发现，如果到达某个数x时，它没有被前面的数筛掉，那么它就是素数。

100以内素数代码如下：

const int MAXN = 101;
int prime[MAXN], p_num = 0;
bool p[MAXN] = {0};  // i is a prime,return false
void find_prime() {for (int i = 2; i < MAXN; i++) {if (p[i] == false) {  // if i is a primeprime[p_num++] = i;for (int j = i + i; j < MAXN; j += i) {p[j] = true;}}}
}

总结：

1不是素数，也不是合数；
涉及到素数问题，通常打表是一个不错的方法；
素数的表长最少要比n大于1；
注意时间复杂度。

质因子分解

一个正整数可以写成一个或者多个质数的乘积形式，可以先把素数表打印出来。前面说过，如果一个正整数n存在除了1和本身之外的因子，那么一定在sqrt(n)左右成对出现。当应用到质因子上来，会有一个强化结论：

对于一个正整数n,如果存在[2,n]之间的质因子，那么这些质因子要不全都小于等于sqrt(n)，要不只存在一个大于等于sqrt(n)的质因子，其余的质因子都小于等于sqrt(n)。

①首先定义一个结构体，用来存放质因子和对应的个数：

struct factor{int x,cnt;
}fac[10];

fac数组只需要到10个就足够了，因为十个素数相乘已经超出了int范围。
②枚举1~sqrt(n)范围内的所有质因子p，判断p是否为n的因子。

如果p是n的因子，那么给fac数组增加质因子p，并初始化其个数为0。如果p还是n的质因子，就让n不断的除以p，每次令p的个数加一，直到p不再是n的因子为止。

if(n%prime[i]==0){fac[num].x=prime[i];fac[num].cnt=0;while(n%prime[i]==0){fac[num].cnt++;n/=prime[i];}num++;
}

如果p不是n的因子就直接跳过。

③如果在上述步骤结束后，n依旧大于1，说明有且仅有一个大于sqrt(n)的质因子，有可能是n本身，这时将该质因子加入fac数组，并令其个数为1。

if(n!=1){fac[num].x=n;fac[num++].cnt=1;
}

最后，fac数组里存放的就是质因子分解的结果。

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