信息学奥赛一本通 1273：【例9.17】货币系统

【题目链接】

ybt 1273：【例9.17】货币系统
注：题目中0<n≤1000<n\le 1000<n≤100，0<m≤100000<m\le 100000<m≤10000
结果要用long long表示

【题目考点】

1. 动态规划：完全背包问题

【解题思路】

1. 状态定义

集合：选择货币的方案
限制：选择哪些种类面值的货币，凑多少钱
属性：货币面值加和
条件：等于m
统计量：方案数

状态定义：dp[i][j]：在前i种货币中选择货币凑j元钱的方案数。
初始状态：前i种货币中选择货币凑0元的方案数为1，不选任何货币也算一种方案。dp[i][0] = 1

2. 状态转移方程

记第i种货币的面值为a[i]
集合：在前i种货币中选择货币凑j元钱的方案。
分割集合：是否选择第i种面值的货币

子集1：如果不选择第i种面值的货币，那么在前i种货币中选择货币凑j元的方案数，为在前i-1种货币中选择货币凑j元的方案数，为dp[i-1][j]
子集2：在要凑的钱数j大于等于第i种货币的面值a[i]的情况下，如果选择第i种货币，下一次还可以选择第i种货币。那么还需要在前i种货币中选择货币凑j-a[i]元。在前i种货币中选择货币凑j元的方案数，为在前j种货币中选择货币凑j-a[i]元的方案数，为dp[i][j-a[i]]
以上两种情况得到的方案数加和，即为在前i种货币中选择货币凑j元的方案数。dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-a[i]]
原解法时间复杂度：O(m∗n)O(m*n)O(m∗n)，空间复杂度：O(m∗n)O(m*n)O(m∗n)。
可以对该问题使用滚动数组优化，时间复杂度：O(m∗n)O(m*n)O(m∗n)，空间复杂度O(n)O(n)O(n)。

【题解代码】

解法1：基本解法，二维状态

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 105
#define M 10005
long long m, n, dp[N][M], a[N];//dp[i][j]:前i种货币凑j元的方案数
int main()
{cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; ++i)cin >> a[i];for(int i = 0; i <= n; ++i)//前i种货币中选择货币凑0元的方案数为1dp[i][0] = 1;for(int i = 1; i <= n; ++i)for(int j = 0; j <= m; ++j){if(j >= a[i])dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-a[i]];elsedp[i][j] = dp[i-1][j];}cout << dp[n][m];return 0;
}

解法2：滚动数组优化，一维状态

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 105
#define M 10005
long long m, n, dp[M], a[N];//dp[i][j]:前i种货币凑j元的方案数
int main()
{cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; ++i)cin >> a[i];dp[0] = 1;for(int i = 1; i <= n; ++i)for(int j = a[i]; j <= m; ++j)dp[j] = dp[j] + dp[j-a[i]];cout << dp[m];return 0;
}

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