【数学知识】非线性方程求解的二分法以及牛顿迭代法

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二分法
- 问题1
- 编程作业
牛顿迭代法
- 编程作业

本博客不谈及理论推导，只提供代码实现，关于理论推导，大家可以查看其它博客文章。

导入包

import sys
import math
import sympy as sp
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

二分法

class ConditionError(Exception):def __init__(self,ErrorInfo):super().__init__(self)self.errormsg = ErrorInfodef __str__(self):return self.errormsg

def BisectionMethod(f,a,b,err=1e-5,max_iter=100):'''A root-finding method:Bisection method.Args----------f: callable functionThe nonlinear function to be solved.a,b: floatThe initial interval, which satisfies the condition:a<berr: floatTollerence of the result.max_iter: intMaximun iterations.Outs----------x0: floatThe root between interval [a,b].tol: floatTollerence of the result.iters:Number of iterations when the method stopped.'''if a>b:raise ConditionError('Wrong interval setup,it must be: a<b')if (f(a)>0 and f(b)>0) or (f(a)<0 and f(b)<0):print("Can't find the root of function as the condition is insurficient!")n = 1while n<max_iter:c = (a+b)/2print("n={},c={}".format(n,f(c)))if  f(c)==0 or (b-a)/2<err:x0=cbreakn += 1if f(a)*f(c)>0: a = celse:b = cprint("求解结果：n={},tol={},x0={}".format(n,abs(f(x0)),x0))tol, iters = abs(f(x0)), nreturn x0,tol,iters

问题1

求解方程
(x+5)(x−1)(x−3)=0(x+5)(x-1)(x-3)=0 (x+5)(x−1)(x−3)=0

求解步骤:
1、画图确定根的大致位置，选择根的初始区间[a,b]
2、使用二分法函数BisectionMethod进行求解

def f(x):'''Nonlinear function to be solved$f(x)=(x+5)(x-1)(x-3)$'''return (x+5)*(x-1)*(x-3)x = np.linspace(-6, 6, num = 1000)
y = f(x)
plt.plot(x,y)
ax = plt.gca()
ax.spines['right'].set_color('none')
ax.spines['top'].set_color('none')         # 将右边 上边的两条边颜色设置为空 其实就相当于抹掉这两条边ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax.yaxis.set_ticks_position('left')          # 指定下边的边作为x轴   指定左边的边为y轴ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))   #指定data设置的bottom(也就是指定的x轴)绑定到y轴的0这个点上
ax.spines['left'].set_position(('data', 0))

BisectionMethod(f,-7,4,err=1e-5)

n=1,c=39.375
n=2,c=28.546875
n=3,c=-35.712890625
n=4,c=2.945556640625
n=5,c=-14.629669189453125
n=6,c=-5.418788909912109
n=7,c=-1.1327033042907715
n=8,c=0.9321668744087219
n=9,c=-0.09380341321229935
n=10,c=0.4207942122593522
n=11,c=0.16389898478519171
n=12,c=0.03514874020766001
n=13,c=-0.029302090633791522
n=14,c=0.002929635346163195
n=15,c=-0.01318464989051904
n=16,c=-0.005127112848040127
n=17,c=-0.0010986401466772655
n=18,c=0.000915522250586609
n=19,c=-9.155278530671024e-05
n=20,c=0.0004119862733211405
n=21,c=0.00016021712917794583
求解结果：n=21,tol=0.00016021712917794583,x0=-4.999996662139893(-4.999996662139893, 0.00016021712917794583, 21)

BisectionMethod(f,0,2,err=1e-5)

n=1,c=-0.0
求解结果：n=1,tol=0.0,x0=1.0(1.0, 0.0, 1)

BisectionMethod(f,2,4,err=1e-5)

n=1,c=0.0
求解结果：n=1,tol=0.0,x0=3.0(3.0, 0.0, 1)

编程作业

使用二分法求解以下方程的根：
x2−ex=0x^2-e^x=0 x2−ex=0

# 请在此区域书写求解代码

牛顿迭代法

使用到包sympy
sympy教程：https://geek-docs.com/python/python-tutorial/python-sympy.html
SymPy 是用于符号数学的 Python 库。它旨在成为功能齐全的计算机代数系统。 SymPy 包括从基本符号算术到微积分，代数，离散数学和量子物理学的功能。它可以在 LaTeX 中显示结果。
SymPy 是使用pip install sympy命令安装的。

t = np.linspace(-5,5,100)
y = t*np.exp(t)-100
plt.plot(t,y)
ax = plt.gca()
ax.spines['right'].set_color('none')
ax.spines['top'].set_color('none')         # 将右边 上边的两条边颜色设置为空 其实就相当于抹掉这两条边ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax.yaxis.set_ticks_position('left')          # 指定下边的边作为x轴   指定左边的边为y轴ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))   #指定data设置的bottom(也就是指定的x轴)绑定到y轴的0这个点上
ax.spines['left'].set_position(('data', 0))

def NewtonMethod(f,x0,err=1e-5,max_iter=1000):'''A root-finding method:Newton method.Args----------f: callable functionThe nonlinear function to be solved.x0: floatThe initial x0err: floatTollerence of the result.max_iter: intMaximun iterations.Outs----------result: floatThe root between interval.'''x=sp.symbols("x")f=sp.integrate(f, x)  # 先求不定积分f=sp.diff(f)  # 再求导if sp.diff(f).subs(x,x0)==0:return x0n=1x_new=x0while n<=max_iter:x_new=x0-f.subs(x,x0)/sp.diff(f).subs(x,x0)#x_new=float(x_new)if math.fabs(x_new-x0)<err:return float(x_new)x0=x_newn+=1print("无法在设定的循环步数内获得指定精度的近似解")return float(x_new)

x=sp.symbols("x")  # 定义符号
f=x*sp.exp(x)-100  # 需要注意，各种初等函数符号，例如exp，cos，sin等，均需要使用sympy指定的符号构建
x0 = 3
xr = NewtonMethod(f,x0,err=1e-3,max_iter=1000)
print("求根结果：", float(xr))

求根结果： 3.385630140831713

编程作业

使用牛顿迭代法求解以下方程的根：
x3−ex=0x^3-e^x=0 x3−ex=0

# 请在此区域书写求解代码

【作者简介】陈艺荣，男，目前在华南理工大学电子与信息学院广东省人体数据科学工程技术研究中心攻读博士，担任IEEE Access、IEEE Photonics Journal的审稿人。两次获得美国大学生数学建模竞赛(MCM)一等奖，获得2017年全国大学生数学建模竞赛(广东赛区)一等奖、2018年广东省大学生电子设计竞赛一等奖等科技竞赛奖项，主持一项2017-2019年国家级大学生创新训练项目获得优秀结题，参与两项广东大学生科技创新培育专项资金、一项2018-2019年国家级大学生创新训练项目获得良好结题，发表SCI论文4篇，授权实用新型专利8项，受理发明专利13项。
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