亚声速 – 超声速等熵喷管流动数值模拟(文字）

2024-05-30 21:33:12

亚声速 – 超声速等熵喷管流动

问题描述

流过拉伐尔喷管的定常等熵流动

在喷管，流动经过等熵地加速已达到超声速

喷管出口处流体的压力、温度、速度和马赫数分别记为

在喷管收缩段，流动是亚声速的；在喷管的喉道，是声速流动；在喷管的扩张段，流动是超声速的

喉道处的声速流动（Ma=1）表示此处流动速度的大小等于当地声速

尽管真实流动的流场是二维的，可以假设流动参数仅随x变化，这相当于假设在任意截面上的流动参数是均匀的。这种流动叫做拟一维流动。

对于以上假设，将使得x、y的三种控制方程对该问题不再适用。

因此直接基于物理学原理推导控制方程（质量守恒、牛顿第二定律、能量守恒）

连续性方程：

动量方程：

能量方程：

完全气体状态方程：

完全气体焓：

建立控制方程

若需要推导偏微分方程的控制方程，则需从积分形式的控制方程组出发，重新推导

连续性方程：

动量方程：

守恒型：

非守恒型：

能量方程：

代入三种守恒方程：

无量纲化：

其中，L表示喷管的长度，表示驻室的声速，，γ 为比热比，A* 为喉道面积。

连续性方程：

'

动量方程：

代入

能量方程：

时间步长限制

对双曲型方程，，，有CFL条件：

对该问题，有稳定性限制条件：

其中V是流动中某一点的流速，a是当地声速

求解

预估步：

（上图中间式，右侧第一项缺少负号）

校正步：

边界处的值如何计算？？？

时间导数平均值

校正值：

全亚声速等熵喷管流动

全亚声速等熵喷管流动的解，对应于指定的压力比，喷管出口压力与驻室压力之比。

给定如下的面积分布的喷管：

此处表示喷管喉道处的截面积。由于喉道处的流动是亚声速的，At>A* 。

对亚声速流动，为了得到唯一的解，需要给定喷管两端的压力比。对于固定的p0 ，需要给定出口压力pe 。

控制方程

另有状态方程

p=ρRT

写成无量纲形式

p'=ρ'T'

由于出口压力pe' 给定：

因此，当pe' 给定时，出口边界上的ρe' 与Te' 将耦合在一起。如果通过线性外插值确定其中一个，则另一个需要由上式状态方程确定。

初始条件

边界条件引起的一些问题

对该问题，更小的出口压力将会导致计算不稳定，最终发散。

在出口附近出现了振荡。这是由于有限波从下游边界处反射，而这种反射完全是由数值上的原因引起的。由于计算过程中要保持出口压力pe 为常数，非定常喷管流动中向右传播的有限压缩波和稀疏波会从常压边界反射。如果这些波足够强大，那么在下游边界附近将出现较大的振荡。经过足够长的时间，这种振荡最终导致计算发散。

出口边界规定为“压力不变，保持恒定”。在物理上，这种规定仅在定常情况下才成立。实际上，在非定常流动中，有限压缩波和膨胀波在喷管内来回运动。这些波从下游边界传播出喷管时，所有流动变量（包括压力）都随着时间变化。因此，这种出口边界的规定在物理上是不正确的。因此，当出口处压力恒定时，这些波在某种程度上被挡在喷管内，无法传播出去。

为了使较强压力比下求解能够成功，首先，可以让初始条件更接近于定常解。其次，可以添加一些人工粘性。

亚声速-超声速等熵喷管流动 – 守恒型方程

为了捕捉激波，应选择守恒形式的控制方程。

控制方程

连续性方程：

动量方程：

其中

能量方程：

无量纲内能：

建立通用方程组：

这里守恒型控制方程组的因变量并不是原始变量。通用方程组求解得出U1, U2, U3 ，U 才被称为解向量。而原始变量ρ, V, T, p ，必须将U1, U2, U3 分解才能得到

其中

另外需要将F表达成的形式

边界条件

进口处：

出口处：

初始条件

取

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