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我们可以将一幅数字图像视为一个 二维函数I(x,y)I(x,y)I(x,y) ，其中x和y是空间坐标，在x-y平面中的任意空间坐标 (x,y)(x,y)(x,y) 上的 幅值 IxyI_{xy}Ixy 称为该点 图像的灰度、亮度或强度。

Ix,y=I(x,y)I_{x,y} = I(x,y) Ix,y=I(x,y)

下面以 IxyI_{xy}Ixy 作为随机变量，分析二维数字图像的统计特征。

数学期望

数学期望（Expectation） 就是随机变量 以概率为权数的加权平均值，以级数的形式表示为

E(X)=∑k=1∞xkpkE(X) = \sum_{k=1}^{\infty} x_k p_k E(X)=k=1∑∞xkpk

一幅数字图像的数学期望为其 灰度平均值，即所有像元灰度值的算数平均值

Iˉ=1M⋅N∑x=1M∑y=1NI(x,y)\bar{I} = \frac{1}{M \cdot N} \sum_{x=1}^{M} \sum_{y=1}^{N} I(x,y) Iˉ=M⋅N1x=1∑My=1∑NI(x,y)

方差

方差（variance） 是对随机变量离散程度的度量。

D(x)=E[X−E(X)]2=E(X2)−[E(X)]2D(x) = E[X-E(X)]^2 = E(X^2) - [E(X)]^2 D(x)=E[X−E(X)]2=E(X2)−[E(X)]2

称 D(X)\sqrt{D(X)}D(X) 为随机变量的 标准差（standard deviation），或 均方差（mean square deviation），记为 σ(X)\sigma(X)σ(X)

二维数字图像的 灰度方差 反应的是图像中各个像素的灰度值与整个图像平均灰度值的离散程度，与图像的 对比度 有关。如果图片对比度小，那方差就小；如果图片对比度很大，那方差就大。

var(I)=1M⋅N∑x=1M∑y=1N[I(x,y)−Iˉ]var(I) = \frac{1}{M \cdot N} \sum_{x=1}^{M} \sum_{y=1}^{N} \left[ I(x,y) - \bar{I} \right] var(I)=M⋅N1x=1∑My=1∑N[I(x,y)−Iˉ]

协方差（矩阵）与相关系数

随机变量X、Y的 协方差（covariance） 为

cov(X,Y)=E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}=E[XY]−E(X)E(Y)=∑i∑j[xi−E(X)][yj−E(Y)]pij\begin{aligned} cov(X,Y) &= E \{ [X-E(X)][Y-E(Y)] \} = E[XY] - E(X)E(Y) \\ &= \sum_{i} \sum_{j} [x_i-E(X)] [y_j-E(Y)] p_{ij} \end{aligned} cov(X,Y)=E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}=E[XY]−E(X)E(Y)=i∑j∑[xi−E(X)][yj−E(Y)]pij

协方差矩阵 可表示为

Σ=[σ11σ12…σ1nσ21σ22…σ2n⋮⋮⋱⋮σn1σn2…σnn]\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \ldots & \sigma_{1n} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \ldots & \sigma_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sigma_{n1} & \sigma_{n2} & \ldots & \sigma_{nn} \\ \end{bmatrix} Σ=⎣⎡σ11σ21⋮σn1σ12σ22⋮σn2……⋱…σ1nσ2n⋮σnn⎦⎤

其中，σij=cov(Xi,Xj)\sigma_{ij} = cov(X_i, X_j)σij=cov(Xi,Xj)

随机变量X、Y的 相关系数（correlation coefficient） 或 标准协方差（standard covariance） 为

ρXY=cov(X,Y)D(X)D(Y)\rho_{XY} = \frac{ cov(X,Y) }{ \sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)} } ρXY=D(X)D(Y)cov(X,Y)

数字图像 IAI_AIA 和 IBI_BIB 的协方差为

cov(IA,IB)=1M⋅N∑x=1M∑y=1N[IA(x,y)−IAˉ][IB(x,y)−IBˉ]cov(I_A, I_B) = \frac{1}{M \cdot N} \sum_{x=1}^{M} \sum_{y=1}^{N} [ I_A(x,y) - \bar{I_A} ] [ I_B(x,y) - \bar{I_B} ] cov(IA,IB)=M⋅N1x=1∑My=1∑N[IA(x,y)−IAˉ][IB(x,y)−IBˉ]

图像的相关系数表征的是两个不同波段图像的所含信息的重叠程度，相关系数越大，重叠度越高，反之越低。

ρIAIB=∑x=1M∑y=1N[IxyA−IAˉ][IxyB−IBˉ](∑x=1M∑y=1N[IxyA−IAˉ])1/2(∑x=1M∑y=1N[IxyB−IAˉ])1/2\rho_{I_A I_B} = \frac {\sum_{x=1}^{M} \sum_{y=1}^{N} [ I^A_{xy} - \bar{I_A} ] [ I^B_{xy} - \bar{I_B} ]} { \bigg(\sum_{x=1}^{M} \sum_{y=1}^{N} [ I^A_{xy} - \bar{I_A} ]\bigg)^{1/2} \bigg(\sum_{x=1}^{M} \sum_{y=1}^{N} [ I^B_{xy} - \bar{I_A} ]\bigg)^{1/2} } ρIAIB=(∑x=1M∑y=1N[IxyA−IAˉ])1/2(∑x=1M∑y=1N[IxyB−IAˉ])1/2∑x=1M∑y=1N[IxyA−IAˉ][IxyB−IBˉ]

下面计算 lena图像 灰度图 和 高斯模糊图 的相关系数

img = Image.open('lena.bmp').convert('L')
im = np.asarray(img)
im_blur = ndimage.gaussian_filter(im, 4)
a = np.corrcoef(im.flatten(), im_blur.flatten())
print a

计算得到其相关系数为 0.95346

矩

XXX 的 kkk阶原点矩，简称 kkk阶矩： E[Xk]E[X^k]E[Xk]
XXX 的 kkk阶中心矩： E[X−E(X)]kE[X-E(X)]^kE[X−E(X)]k
XXX 和 YYY 的 k+lk+lk+l阶混合矩： E[XkYl]E [ X^k Y^l ]E[XkYl]
XXX 和 YYY 的 k+lk+lk+l阶混合中心矩： E{[X−E(X)]k[Y−E(Y)]l}E \{ [X-E(X)]^k [Y-E(Y)]^l \}E{[X−E(X)]k[Y−E(Y)]l}

显然，XXX 的数学期望 E(X)E(X)E(X) 是 XXX 的一阶原点矩，方差 D(X)D(X)D(X) 是 XXX的二阶中心矩，协方差 cov(X,Y)cov(X,Y)cov(X,Y) 是 XXX 和 YYY 的 1+1阶混合中心矩

图像矩

图像的矩（Image Moments）主要表征了图像区域的几何特征，又称为 几何矩。

Raw Moments

二维灰度图像 III 的矩定义为

Mpq=∑x∑yxpyqI(x,y),p,q∈{0,1,2,…}M_{pq} = \sum_{x} \sum_{y} x^p y^q I(x,y), \quad p,q \in \{ 0,1,2, \ldots \} Mpq=x∑y∑xpyqI(x,y),p,q∈{0,1,2,…}

零阶矩 为

M00=∑x∑yI(x,y)M_{00} = \sum_{x} \sum_{y} I(x,y) M00=x∑y∑I(x,y)

当图像为二值图时，M00M_{00}M00 就是这个图像上白色区域的总和；因此，M00M_{00}M00 可以用来求二值图像（轮廓、连通域）的面积

一阶矩 为

M10=∑x∑yx⋅I(x,y)M_{10} = \sum_{x} \sum_{y} x \cdot I(x,y) M10=x∑y∑x⋅I(x,y)

M01=∑x∑yy⋅I(x,y)M_{01} = \sum_{x} \sum_{y} y \cdot I(x,y) M01=x∑y∑y⋅I(x,y)

当图像为二值图时，III 只有 0 和 1 两个值，M10M_{10}M10 就是图像上所有白色区域 x坐标值的累加
一阶矩可以用来求图像的 质心（Centroid），这种方法对噪声不太敏感:

(xc,yc)=(M10M00,M01M00)(x_c, y_c) = \bigg( \frac{M_{10}}{M_{00}}, \frac{M_{01}}{M_{00}} \bigg) (xc,yc)=(M00M10,M00M01)

一阶矩还可以用来求 图像块几何中心的方向，即几何中心 OOO 与质心 CCC 连接的 方向向量OC⃗\vec{OC}OC 的方向（计算中 x,yx,yx,y 均以几何中心 OOO 为原点）:

θ=arctan(M01M10)\theta = arctan( \frac{M_{01}}{M_{10}} ) θ=arctan(M10M01)

通过取以关键点kp为几何中心的图像块计算其一阶矩进而计算该点方向，示例代码如下：

int m01 = 0;
int m10 = 0;
for(int y=-half_patch_size; y<half_patch_size; ++y){for(int x=-half_patch_size; x<half_patch_size; ++x){m01 += y * image.at<uchar>(kp.pt.y+y, kp.pt.x+x);m10 += x * image.at<uchar>(kp.pt.y+y, kp.pt.x+x);}
}
kp.angle = std::atan2(m01, m10)/CV_PI*180.0;

二阶矩 为

M20=∑x∑yx2⋅I(x,y)M_{20} = \sum_{x} \sum_{y} x^2 \cdot I(x,y) M20=x∑y∑x2⋅I(x,y)

M02=∑x∑yy2⋅I(x,y)M_{02} = \sum_{x} \sum_{y} y^2 \cdot I(x,y) M02=x∑y∑y2⋅I(x,y)

M11=∑x∑yx⋅y⋅I(x,y)M_{11} = \sum_{x} \sum_{y} x \cdot y \cdot I(x,y) M11=x∑y∑x⋅y⋅I(x,y)

Central Moments

μpq=∑x∑y(x−xc)p(y−yc)qI(x,y),p,q∈{0,1,2,…}\mu_{pq} = \sum_{x} \sum_{y} (x-x_c)^p (y-y_c)^q I(x,y), \quad p,q \in \{ 0,1,2, \ldots \} μpq=x∑y∑(x−xc)p(y−yc)qI(x,y),p,q∈{0,1,2,…}

利用二阶中心矩可以求图像的方向，图像的 协方差矩阵 为

cov[I(x,y)]=[μ20′μ11′μ11′μ02′]cov[I(x,y)] = \begin{bmatrix} \mu_{20}' & \mu_{11}' \\ \mu_{11}' & \mu_{02}' \end{bmatrix} cov[I(x,y)]=[μ20′μ11′μ11′μ02′]

求得图像方向为

θ=12arctan(2μ11′μ20′−μ02′)\theta = \frac{1}{2} arctan(\frac{2\mu_{11}'}{\mu_{20}'-\mu_{02}'}) θ=21arctan(μ20′−μ02′2μ11′)

其中

μ20′=μ20μ00=M20M00−xc2\mu_{20}' = \frac{\mu_{20}}{\mu_{00}} = \frac{M_{20}}{M_{00}} - x_c^2 μ20′=μ00μ20=M00M20−xc2

μ02′=μ02μ00=M02M00−yc2\mu_{02}' = \frac{\mu_{02}}{\mu_{00}} = \frac{M_{02}}{M_{00}} - y_c^2 μ02′=μ00μ02=M00M02−yc2

μ11′=μ11μ00=M11M00−xcyc\mu_{11}' = \frac{\mu_{11}}{\mu_{00}} = \frac{M_{11}}{M_{00}} - x_c y_c μ11′=μ00μ11=M00M11−xcyc

参考资料

《概率论与数理统计》
Image moment (wikipedia)
ORB: an efficient alternative to SIFT or SURF

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