钢条切割问题

其实这个问题与我们大家熟知的背包问题本质上是一样的，我们来看一下问题本身：首先这里有一个价格表（表格摘自《算法导论》），表中列出了不同长度的钢条的价格：

长度	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
价格	1	5	8	9	10	17	17	20	24	30

假如现在我们有一块长度为5的钢条，那么我们通过切割这块钢条为不同大小的钢条后可以获得的最大利益是多少。
我们可以先从一块长度为5的钢条上截一块长度为a_legth（初始值为1）的钢条，然后考虑如何切割剩下长度为5-length的钢条，使得我们的利益最大。最终我们将a_length取不同值时所对应的最大利益进行比较，选出最大值就是我们能从一块长度为5的钢条上可以获取到的最大利益。那么我们又如何切割长度为5-length的钢条呢？这里我们可以依照之前的方式进行递推，直到最后的钢条长度变为0；

代码实现

SteelBar.h:
#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;class SteelBar
{
public://价格int price[10+1];//钢条的长度int steel_length;//可获取的最大利益int interest;//创建指定长度的钢条void creat_steel();//切割钢条的最优方案int cut_steel(int n);
};SteelBar.cpp:
#include"SteelBar.h"int SteelBar::cut_steel(int n){if (n == 0){return 0;}//最大利益初始值为整段钢条的价格（未切割）int max_interest = price[n];//从左边切割下长度为i的一段for (int i = 1; i <= n; i++){//更新最大利益if (max_interest <= price[i]+cut_steel(n-i)){max_interest = price[i]+cut_steel(n-i);}}//返回最大利益return max_interest;
}void SteelBar::creat_steel(){cout<<"请输入要创建钢条的长度"<<endl;cin>>steel_length;//价格数组int price_array[10+1]={0,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30};for (int i = 0; i < 11; i++){price[i] = price_array[i];}
}

分析与改进

通过运行上面的代码，我们发现两个问题:

随着切割钢条的长度的增加，程序的运行时间会变得特别的长。那能不能进行相关的改进呢？我们发现程序运行时间特别长的原因在于函数cut_steel反复使用相同的参数进行递归调用。那么我们这里其实是可以将函数cut_steel每次递归调用的结果进行记录，然后在每次递归之前从记录中查找相同参数的结果是否已经存在，假如存在则直接使用已有的结果，从而减少运行时间，假如不存在则进行递归调用，然后将结果记录下来。
程序每次只能输出切割对应长度钢条所能获取到的最大利益，但是无法获取与之对应的切割方案，我们可以在每次递归调用函数cut_steel来求出不同长度n所对应的最大利益的同时将与之对应的钢条的第一段的长度记录到一个数组中，最后通过该数组中便可以求出不同长度的钢条在获取到最大利益的时候与之对应的切割方案。

改进后的代码实现

SteelBar.h:
#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;class SteelBar
{
public://价格int price[10+1]; //钢条长度int steel_length;  //不同长度的最优方案中第一段的长度int first_length[10+1];//不同长度所对应的最大利益int interest[10+1]; //创建指定长度的钢条void creat_steel();//切割钢条获取最大利益int cut_steel(int n);//输出最优方案void print_solution();
};SteelBar.cpp:
#include"SteelBar.h"int SteelBar::cut_steel(int n){if (n == 0){interest[0] = 0;return 0;}//查询是否有记录if (interest[n] != -1){return interest[n];}//最大利益初始值为整段钢条的价格（未切割）int max_interest = price[n];//从左边切割下长度为i的一段for (int i = 1; i <= n; i++){//更新最大利益if (max_interest <= price[i]+cut_steel(n-i)){max_interest = price[i]+cut_steel(n-i);//修改最大利益所对应的第一段的长度first_length[n] = i;}}//记录与n所对应的最大利益interest[n] = max_interest;//返回最大利益return max_interest;
}void SteelBar::creat_steel(){cout<<"请输入要创建钢条的长度"<<endl;cin>>steel_length;//价格数组int price_array[10+1]={0,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30};for (int i = 0; i < 11; i++){price[i] = price_array[i];}//将不同长度所对应的最大利益进行初始化for (int i = 0; i <= steel_length; i++){//初始值为 -1interest[i] = -1;}//将不同长度的最优方案中的第一段的长度进行初始化for (int i = 0; i <= steel_length; i++){//初始值为 自身长度first_length[i] = i;}
}void SteelBar::print_solution(){cout<<"切割方案为:"<<endl;int j = 1;for (int i = steel_length; i > 0; ){if(i == first_length[i]){cout<<"第"<<j<<"段:"<<first_length[i]<<endl;break;}else{cout<<"第"<<j++<<"段:"<<first_length[i]<<endl;i = steel_length - first_length[i];}}
}

测试

#include"SteelBar.h"int main(){SteelBar steel_1;steel_1.creat_steel();steel_1.cut_steel(steel_1.steel_length);cout<<"最大利益为"<<steel_1.interest[steel_1.steel_length] <<endl;//输出切割方案steel_1.print_solution();
}

测试结果

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