人工智能数学基础03之:隐函数推导
什么是隐函数?
如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数,那么称这种方式表示的函数是隐函数。
本质上F(x,y)=0函数y=f(x)是一样的,但是在数学理论中,总有一些函数,人们已经证明它们的函数关系,但是还是无法表示成显函数的形式,就叫做隐函数。隐函数一般是一个含x,y的方程如ey+x2+x=0这种形式,由于形式复杂,y不容易变形为用含x的式子表示,即不易表示为y=f(x),但如果能确定对于x的每一取值,y都有唯一确定的值与它对应的话,y就是x的函数关系,但这样的关系隐含在方程中,不容易写成明显的函数关系的形式,所以称隐函数。
隐函数存在定理1:
设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数,且F(x0,y0)=0,Fx(x0,y0)≠0,则方程F(x,y)=0在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x),它能满足条件y0=f(x0),并有
(1) 式就是隐函数的求导公式,对式(1)作如下推导: 将 y=f(x),F(x,y)=0联立有 F(x,f(x)) ≡0,其左端可以看做是x的一个复合函数,求这个函数的全导数,由于恒等式两端求导后仍然恒等,即得
因为Fy连续,且Fy(x0,y0) ≠0,随意存在(x0,y0)的一个邻域,在这个邻域内Fy≠0,于是得出(1)式
隐函数存在定理2:
设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续的偏导数,且F(x0,y0,z0)=0,Fx(x0,y0,z0)≠0,则方程F(x,y,z)=0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数z=f(x,y),它能满足条件z0=f(x0,y0),并有
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