人工智能数学基础--概率与统计11：离散随机变量的超几何分布和负二项分布

一、超几何分布

1.1、定义

假设N个产品中M个废品，以X记为从N个产品中随机抽出n个里面所包含的废品数m，则：
P(X=m)=(mM)(n−mN−M）/（nN）P(X=m) = {\Large (^M_m)(^{N-M}_{n-m}）/（^N_n）}P(X=m)=(mM)(n−mN−M）/（nN）
其中：0≤m≤M，n≤N，n-m≤N-M。

上述概率函数就是超几何分布的概率函数，之所以称为这个名字，是因为其形式与“超几何函数”的级数展开式有关。

1.2、与二项分布关系

这个分布在涉及抽样的问题中常用，特别当 N不大时。因为通常在抽样时，多是“无放回的”，即已抽出的个体不再有放回去以供再次抽出的机会，这就与把n个同时抽出的效果一样，如果一个一个地抽而抽出过的仍放回，则结果是二项分布。

对于二项分布，如果n/N很小，则放回与不放回差别不大。由此可见，在这种情况下超几何分布应与二项分布很接近，确切地说，若X服从超几何分布，则当n 固定时，M/N=p固定；N→∞时，X近似地服从二项分布B(n,p)。

二、负二项分布

2.1、结合例子的定义

为了检查某厂产品的废品率 p 大小，有两个试验方案可采取：一是从该厂产品中抽出若干个，检查其中的废品数X，这一方案导致二项分布；

另一个方案是先指定一个自然数r，一个一个地从该厂产品中抽样检查，直到发现第r个废品为止。以X记到当时为止已检出的合格品个数。显然,若废率p小，则X倾向于取较大的值；反之当p大时，则X倾向于取小值。故X可用于衡量p的大小。为计算X的分布，假定各次抽取的结果(是否为废品)是独立的，且每次抽得废品的概率保持固定为p。
考察{X=i}这个事件，为使这个事件发生，需要以下两个事件同时发生：

在前 i+r-1 次抽取中，恰有r-1个废品;
第 i+r 次抽出废品。

按所作假定，这两个事件的概率分别为b(r-1;i+r-1,p)和p。再由独立性，即得：
P(X=i)=b(r−1;i+r−1,p)p=(r−1i+r−1)pr(1−p)i{\Large P(X=i) = b(r-1;i+r-1,p)p \,\, = \,(^{i+r-1}_{r-1})p^r(1-p)^i}P(X=i)=b(r−1;i+r−1,p)p=(r−1i+r−1)pr(1−p)i

这个分布称为负二项分布。

2.2、负二项分布的由来

负二项分布这个名称的来由缘由在“负指数二项展开式”：
(1−x)−r=∑0∞（i−r）(−x)i=∑0∞(ii+r−1)xi=∑0∞(r−1i+r−1)xi{\Large (1-x)^{-r}=\sum\limits_0^∞（^{-r}_{\;\;i}）(-x)^i=\sum\limits_0^∞(^{i+r-1}_{\;\;\;i})x^i=\sum\limits_0^∞(^{i+r-1}_{\;\;{r-1}})x^i}(1−x)−r=0∑∞（i−r）(−x)i=0∑∞(ii+r−1)xi=0∑∞(r−1i+r−1)xi
令x=1-p，并在上式左右两边等乘以prp^rpr，得到：
1=∑0∞(r−1i+r−1)(1−p)ipr1 = \sum\limits_0^∞(^{i+r-1}_{\;\;{r-1}})(1-p)^ip^r1=0∑∞(r−1i+r−1)(1−p)ipr
这就证明了负二项分布的所有 P(X=i)的和等于1。
二项分布在试验抽样时，定下抽样个数n而把废品个数X作为变量，负二项分布则相反，是定下废品个数r，而把总抽样次数减去r作为变量，也基于此称为负二项分布。

老猿注：上面的推导中，用到了负数的组合数和负数的阶乘，相关定义与正数一样，因此有：
(i−r)=(−r)!i!(−r−i)!=(−r)(−r−1)...(−r−i+1)i!{(^{-r}_{\;\;i})=\frac{(-r)!}{i!(-r-i)!}=\frac{(-r)(-r-1)...(-r-i+1)}{i!}}(i−r)=i!(−r−i)!(−r)!=i!(−r)(−r−1)...(−r−i+1)
=(−1)ir(r+1)...(r+i−1)i!=(-1)^i\;\;\frac{r(r+1)...(r+i-1)}{i!}=(−1)ii!r(r+1)...(r+i−1)
=(−1)i(r+i−1)!(r−1)!i!=(−1)i(ir+i−1)=(-1)^i\;\;\frac{(r+i-1)!}{(r-1)!i!}=(-1)^i\;\;(^{r+i-1}_{\;\;i})=(−1)i(r−1)!i!(r+i−1)!=(−1)i(ir+i−1)

2.3、负二项分布的特例

当取负二项分布中的r=1，则负二项分布变为了：
P(X=i)=(0i)p(1−p)i=p(1−p)i{\Large P(X=i) =\,(^{i}_{0})p(1-p)^i=p(1-p)^i}P(X=i)=(0i)p(1−p)i=p(1−p)i
这是一个公比为（1-p）的等比级数，也称为几何级数，这种情况下的分布称为几何分布。

三、小结

本文介绍了离散随机变量的超几何分布、负二项分布、几何分布的概念，以及相关的公式推导，从介绍可知，他们与二项分布有密切的关系。

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