高数_第3章重积分_三重积分的奇偶性

2024-06-11 03:04:53

当积分区域 Ω 关于坐标面对称， 被积函数 f(x, y, z) 具有奇偶性时，利用这些特点可以简化三重积分的计算，这样的简算也称为对称奇偶性。

一. 假设 Ω 关于Oxy平面对称， Oxy平面将 Ω 对称地分为和两部分。

（1）如果f(x, y, z) 关于z是奇函数，即总存在 f(x, y, -z) = -f(x, y, z)

则

（2）如果 f（x, y, z）关于z是偶函数，即总存在 f(x, y, -z) = f(x, y, z), 则

二. 假设 Ω 关于Oxz平面对称， Oxz平面将 Ω 对称地分为和两部分。

（1）如果f(x, y, z) 关于y是奇函数，即总存在 f(x, -y, z) = -f(x, y, z)

则

（2）如果 f（x, y, z）关于y是偶函数，即总存在 f(x, -y, z) = f(x, y, z), 则

三. 假设 Ω 关于Oyz平面对称， Oxz平面将 Ω 对称地分为和两部分。

（1）如果f(x, y, z) 关于x是奇函数，即总存在 f(-x, y, z) = -f(x, y, z)

则

（2）如果 f（x, y, z）关于 x 是偶函数，即总存在 f(-x, y, z) = f(x, y, z), 则

四. 结论：在重积分中，讨论被积函数f 的奇偶性，不是看函数 f是否关于直角坐标的原点
（或y轴）对称，这不是我们分析的方向。 绝不能用一元函数判断奇偶性的老方法！！

正确方法：

1 先判断积分区域关于哪个坐标面对称，

2 然后再将f中的x 代替为-x, 或者是y代替为-y, 或者是z 代替为-z.

3. 再看f(-x, y, z) 或者f(x, -y, z) 或者f(x, y, -z)与哪个函数相等。

简要地说：先看积分区域，再将变量替换为相反值，再看结果。

三重积分的奇偶性判断，我们必须理解，必须掌握！

看几个例题

例1：简算三重积分

解：积分区域 Ω 是一个旋转抛物面，关于yOz坐标面对称，因此可以判断被积函数的奇偶性，

被积函数 f(x, y, z) = zsinxsiny² 关于变量x是奇函数. f(-x, y, z) = -f(x, y, z). 所以原积分

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