n!的任意质因数的个数

n! = 123*…*n

首先分析质因数2的个数

参考文献：https://www.cnblogs.com/daifei/p/3766015.html

算法：N!质因数2的个数 = [N / 2] + [N / 4] + [N / 8] + …

推理：

将1.2.3…n的n个数以212^121的间距从1 开始划分。则在第一条数轴上的每一个能够整除212^121的点都至少有一个质因数2.则n!的质因数计数中，数轴上的每一个能够整除212^121的点都计数1，数轴上总的点数为 [n/2]，即n整除以2，向下取整。
将1.2.3…n的n个数以212^121的间距从1 开始划分。
则在第一条数轴上的每一个能够整除222^222的点都至少有一个质因数2.则n!的质因数计数中，数轴上的每一个能够整除222^222的点都计数1，数轴上总的点数为 [n/222^222]，即n整除以222^222，向下取整。
综上，N!质因数2的个数 = [N / 2] + [N / 4] + [N / 8] + …

推论(利用二进制）

例子1，二进制数： n = 10000（2）
二进制数除以2即为右移一位。因此：
n!n!n!的质因数2的个数为:[n/2]+[n/22]+[n/23......[n/2]+[n/2^2]+[n/2^3......[n/2]+[n/22]+[n/23......
即：n!n!n!的质因数2的个数为:
01000（2）+00100（2）+00010（2）+00001（2）=01111（2）=10000（2）-1
则：
10000（2）的质因数2的个数为：n−n的二进制表达式中1的个数n-n的二进制表达式中1的个数n−n的二进制表达式中1的个数

因此：

 int count=n;while(n>0){count-=n&0x1;n = n>>1;}return count;

若不考虑二进制，直接利用除法实现上述算法[N / 2] + [N / 4] + [N / 8] + …，则代码为：

 int count = 0;while(n>0){n= n/2;count +=n;}

分析质因数5的个数

算法：N!质因数2的个数 = [N/51]+[N/52]+[N/53]+....[N / 5^1] + [N / 5^2] + [N / 5^3] + ....[N/51]+[N/52]+[N/53]+....

推理略。
实例：求5进制数（4000）（5）中质因数5的个数。
利用上述2进制可知，（4000）（5） / 5相当于右移一位，结果为（0400）（5）。则（4000）（5）的质因数5的个数为：（0444）（5）.相对于二进制来说，要保留原数的值，例如4.

代码如下

利用五进制

class Solution {public:/** @param n: A long integer* @return: An integer, denote the number of trailing zeros in n!*/long long trailingZeros(long long n) {// write your code here, try to do it without arithmetic operators.long long count=0;long num5[64],countNum[64] = {0};int i=0,j=0;long temp=1;while(n>0){   //转换为5进制i++;num5[i]=n%5;n=n/5;}num5[0]=i;  //记录5进制位数for(i=num5[0];i>1;i--){  //计算5进制表达式中非零数的计数个数for(j=1;j<i;j++){countNum[j] += num5[i];}}count+=countNum[1];for(i=2;i<num5[0];i++){  //将5进制表示为10进制temp *=5;count += countNum[i]*temp;}return count;}
};

直接利用除法实现：

class Solution {public:/** @param n: A long integer* @return: An integer, denote the number of trailing zeros in n!*/long long trailingZeros(long long n) {// write your code here, try to do it without arithmetic operators.long long count=0;while(n>0){n=n/5;count += n;}return count;}
};

分析n!n!n!的任意质因数的个数

质因数为x,则直接用除法实现

class Solution {public:/** @param n: A long integer* @return: An integer, denote the number of trailing zeros in n!*/long long trailingZeros(long long n) {// write your code here, try to do it without arithmetic operators.long long count=0;while(n>0){n=n/x;count += n;}return count;}
};

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